Theorem subrgin 14245

Description: The intersection of two subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgin	|- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` R ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubRing ` R ) )

Proof of Theorem subrgin

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 3957	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` R ) ) -> |^| { A , B } = ( A i^i B ) )
2		prssi 3827	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` R ) ) -> { A , B } C_ (SubRing ` R ) )
3		prmg 3790	. . . 4 |- ( A e. (SubRing ` R ) -> E. w w e. { A , B } )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` R ) ) -> E. w w e. { A , B } )
5		subrgintm 14244	. . 3 |- ( ( { A , B } C_ (SubRing ` R ) /\ E. w w e. { A , B } ) -> |^| { A , B } e. (SubRing ` R ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` R ) ) -> |^| { A , B } e. (SubRing ` R ) )
7	1, 6	eqeltrrd 2307	1 |- ( ( A e. (SubRing ` R ) /\ B e. (SubRing ` R ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubRing ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1538   e. wcel 2200   i^i cin 3197   C_ wss 3198   {cpr 3668   |^|cint 3924   ` cfv 5322  SubRingcsubrg 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-sets 13076  df-iress 13077  df-plusg 13160  df-mulr 13161  df-0g 13328  df-mgm 13426  df-sgrp 13472  df-mnd 13487  df-grp 13573  df-minusg 13574  df-subg 13744  df-cmn 13860  df-abl 13861  df-mgp 13921  df-ur 13960  df-srg 13964  df-ring 13998  df-subrg 14220

This theorem is referenced by: (None)