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Theorem lmres 15113
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmres.4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
lmres.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Proof of Theorem lmres
Dummy variables j k u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2 toponmax 14890 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
31, 2syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> X e. J )
4 cnex 8251 . . . . . 6 |- CC e. _V
5 ssid 3258 . . . . . . 7 |- X C_ X
6 uzssz 9874 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
7 zsscn 9585 . . . . . . . 8 |- ZZ C_ CC
86, 7sstri 3247 . . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
9 pmss12g 6909 . . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ ( ZZ>= ` M ) C_ CC ) /\ ( X e. J /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
105, 8, 9mpanl12 436 . . . . . 6 |- ( ( X e. J /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
113, 4, 10sylancl 413 . . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
12 zex 9586 . . . . . . 7 |- ZZ e. _V
1312, 6ssexi 4248 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
14 lmres.4 . . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
15 pmresg 6910 . . . . . 6 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1613, 14, 15sylancr 414 . . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1711, 16sseldd 3239 . . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) )
1817, 142thd 175 . . 3 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) <-> F e. ( X ^pm CC ) ) )
19 eqid 2232 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2019uztrn2 9872 . . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21 dmres 5059 . . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i dom F )
2221elin2 3407 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. dom F ) )
2322baib 927 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> k e. dom F ) )
24 fvres 5694 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
2524eleq1d 2301 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. u ) )
2623, 25anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2720, 26syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2827ralbidva 2538 . . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2928rexbiia 2557 . . . . . 6 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
3029imbi2i 226 . . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3130ralbii 2548 . . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3231a1i 9 . . 3 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
3318, 323anbi13d 1351 . 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
34 lmres.5 . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
351, 19, 34lmbr2 15079 . 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P <-> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
361, 19, 34lmbr2 15079 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
3733, 35, 363bitr4rd 221 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   |` cres 4751   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^pm cpm 6883   CCcc 8125   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853  TopOnctopon 14875   ~~> tclm 15052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pm 6885  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-top 14863  df-topon 14876  df-lm 15055
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