ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmres Unicode version
Theorem lmres 14937
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmres.4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
lmres.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Proof of Theorem lmres
Dummy variables j k u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2 toponmax 14714 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
31, 2syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> X e. J )
4 cnex 8134 . . . . . 6 |- CC e. _V
5 ssid 3244 . . . . . . 7 |- X C_ X
6 uzssz 9754 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
7 zsscn 9465 . . . . . . . 8 |- ZZ C_ CC
86, 7sstri 3233 . . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
9 pmss12g 6830 . . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ ( ZZ>= ` M ) C_ CC ) /\ ( X e. J /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
105, 8, 9mpanl12 436 . . . . . 6 |- ( ( X e. J /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
113, 4, 10sylancl 413 . . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
12 zex 9466 . . . . . . 7 |- ZZ e. _V
1312, 6ssexi 4222 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
14 lmres.4 . . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
15 pmresg 6831 . . . . . 6 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1613, 14, 15sylancr 414 . . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1711, 16sseldd 3225 . . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) )
1817, 142thd 175 . . 3 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) <-> F e. ( X ^pm CC ) ) )
19 eqid 2229 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2019uztrn2 9752 . . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21 dmres 5026 . . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i dom F )
2221elin2 3392 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. dom F ) )
2322baib 924 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> k e. dom F ) )
24 fvres 5653 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
2524eleq1d 2298 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. u ) )
2623, 25anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2720, 26syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2827ralbidva 2526 . . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2928rexbiia 2545 . . . . . 6 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
3029imbi2i 226 . . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3130ralbii 2536 . . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3231a1i 9 . . 3 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
3318, 323anbi13d 1348 . 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
34 lmres.5 . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
351, 19, 34lmbr2 14903 . 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P <-> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
361, 19, 34lmbr2 14903 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
3733, 35, 363bitr4rd 221 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   |` cres 4721   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^pm cpm 6804   CCcc 8008   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733  TopOnctopon 14699   ~~> tclm 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pm 6806  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-top 14687  df-topon 14700  df-lm 14879
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator