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Theorem lmres 14568
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmres.4 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
lmres.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmres |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Proof of Theorem lmres
Dummy variables j k u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2 toponmax 14345 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
31, 2syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> X e. J )
4 cnex 8020 . . . . . 6 |- CC e. _V
5 ssid 3204 . . . . . . 7 |- X C_ X
6 uzssz 9638 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
7 zsscn 9351 . . . . . . . 8 |- ZZ C_ CC
86, 7sstri 3193 . . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ CC
9 pmss12g 6743 . . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ X /\ ( ZZ>= ` M ) C_ CC ) /\ ( X e. J /\ CC e. _V ) ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
105, 8, 9mpanl12 436 . . . . . 6 |- ( ( X e. J /\ CC e. _V ) -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
113, 4, 10sylancl 413 . . . . 5 |- ( ph -> ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) C_ ( X ^pm CC ) )
12 zex 9352 . . . . . . 7 |- ZZ e. _V
1312, 6ssexi 4172 . . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
14 lmres.4 . . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
15 pmresg 6744 . . . . . 6 |- ( ( ( ZZ>= ` M ) e. _V /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1613, 14, 15sylancr 414 . . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm ( ZZ>= ` M ) ) )
1711, 16sseldd 3185 . . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) )
1817, 142thd 175 . . 3 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) <-> F e. ( X ^pm CC ) ) )
19 eqid 2196 . . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2019uztrn2 9636 . . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21 dmres 4968 . . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) = ( ( ZZ>= ` M ) i^i dom F )
2221elin2 3352 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. dom F ) )
2322baib 920 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) <-> k e. dom F ) )
24 fvres 5585 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
2524eleq1d 2265 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. u ) )
2623, 25anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2720, 26syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2827ralbidva 2493 . . . . . . 7 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2928rexbiia 2512 . . . . . 6 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) <-> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) )
3029imbi2i 226 . . . . 5 |- ( ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3130ralbii 2503 . . . 4 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3231a1i 9 . . 3 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
3318, 323anbi13d 1325 . 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
34 lmres.5 . . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
351, 19, 34lmbr2 14534 . 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P <-> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
361, 19, 34lmbr2 14534 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
3733, 35, 363bitr4rd 221 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ( ~~> t ` J ) P ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   |` cres 4666   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^pm cpm 6717   CCcc 7894   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618  TopOnctopon 14330   ~~> tclm 14507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pm 6719  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-top 14318  df-topon 14331  df-lm 14510
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