Theorem triv1nsgd 13998

Description: A trivial group has exactly one normal subgroup. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
triv1nsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
triv1nsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
triv1nsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
triv1nsgd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
triv1nsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)

Proof of Theorem triv1nsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		triv1nsgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		triv1nsgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		triv1nsgd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		triv1nsgd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })
5	1, 2, 3, 4	trivnsgd 13997	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {𝐵})
6	1, 2	grpidcl 13811	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
8		snexg 4316	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → { 0 } ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
10	4, 9	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
11		ensn1g 7074	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝐵} ≈ 1o)
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≈ 1o)
13	5, 12	eqbrtrd 4147	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3705   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  1_oc1o 6670   ≈ cen 7010  Basecbs 13330  0_gc0g 13587  Grpcgrp 13782  NrmSGrpcnsg 13948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-en 7013  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-sbg 13787  df-subg 13950  df-nsg 13951

This theorem is referenced by: (None)