Theorem uhgrvtxedgiedgb 16067

Description: In a hypergraph, a vertex is incident with an edge iff it is contained in an element of the range of the edge function. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 6-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb.i	|- I = (iEdg ` G )
uhgrvtxedgiedgb.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb	|- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. i e. dom I U e. ( I ` i ) <-> E. e e. E U e. e ) )

Distinct variable groups:   e, E   e, I, i   U, e, i

Allowed substitution hints:   E( i)   G( e, i)   V( e, i)

Proof of Theorem uhgrvtxedgiedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 15983	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
2		uhgrvtxedgiedgb.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
3		uhgrvtxedgiedgb.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
4	3	rneqi 4966	. . . . . 6 |- ran I = ran (iEdg ` G )
5	1, 2, 4	3eqtr4g 2289	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
6	5	rexeqdv 2738	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. E U e. e <-> E. e e. ran I U e. e ) )
7	3	uhgrfun 16001	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
8	7	funfnd 5364	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
9		eleq2 2295	. . . . . 6 |- ( e = ( I ` i ) -> ( U e. e <-> U e. ( I ` i ) ) )
10	9	rexrn 5792	. . . . 5 |- ( I Fn dom I -> ( E. e e. ran I U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
11	8, 10	syl 14	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. ran I U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
12	6, 11	bitrd 188	. . 3 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. E U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
13	12	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. e e. E U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
14	13	bicomd 141	1 |- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. i e. dom I U e. ( I ` i ) <-> E. e e. E U e. e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   dom cdm 4731   ran crn 4732   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  iEdgciedg 15937  Edgcedg 15981  UHGraphcuhgr 15991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fo 5339  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-dec 9656  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-edg 15982  df-uhgrm 15993

This theorem is referenced by: (None)