Theorem uhgrvtxedgiedgb 16138

Description: In a hypergraph, a vertex is incident with an edge iff it is contained in an element of the range of the edge function. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 6-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb.i	|- I = (iEdg ` G )
uhgrvtxedgiedgb.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb	|- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. i e. dom I U e. ( I ` i ) <-> E. e e. E U e. e ) )

Distinct variable groups:   e, E   e, I, i   U, e, i

Allowed substitution hints:   E( i)   G( e, i)   V( e, i)

Proof of Theorem uhgrvtxedgiedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 16054	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
2		uhgrvtxedgiedgb.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
3		uhgrvtxedgiedgb.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
4	3	rneqi 4985	. . . . . 6 |- ran I = ran (iEdg ` G )
5	1, 2, 4	3eqtr4g 2290	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
6	5	rexeqdv 2748	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. E U e. e <-> E. e e. ran I U e. e ) )
7	3	uhgrfun 16072	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
8	7	funfnd 5383	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
9		eleq2 2296	. . . . . 6 |- ( e = ( I ` i ) -> ( U e. e <-> U e. ( I ` i ) ) )
10	9	rexrn 5814	. . . . 5 |- ( I Fn dom I -> ( E. e e. ran I U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
11	8, 10	syl 14	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. ran I U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
12	6, 11	bitrd 188	. . 3 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. E U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
13	12	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. e e. E U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
14	13	bicomd 141	1 |- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. i e. dom I U e. ( I ` i ) <-> E. e e. E U e. e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   dom cdm 4749   ran crn 4750   Fn wfn 5347   ` cfv 5352  iEdgciedg 16008  Edgcedg 16052  UHGraphcuhgr 16062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-edg 16053  df-uhgrm 16064

This theorem is referenced by: (None)