Theorem uhgrvtxedgiedgb 15817

Description: In a hypergraph, a vertex is incident with an edge iff it is contained in an element of the range of the edge function. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 6-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb.i	|- I = (iEdg ` G )
uhgrvtxedgiedgb.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb	|- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. i e. dom I U e. ( I ` i ) <-> E. e e. E U e. e ) )

Distinct variable groups:   e, E   e, I, i   U, e, i

Allowed substitution hints:   E( i)   G( e, i)   V( e, i)

Proof of Theorem uhgrvtxedgiedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 15741	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
2		uhgrvtxedgiedgb.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
3		uhgrvtxedgiedgb.i	. . . . . . 7 |- I = (iEdg ` G )
4	3	rneqi 4920	. . . . . 6 |- ran I = ran (iEdg ` G )
5	1, 2, 4	3eqtr4g 2264	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> E = ran I )
6	5	rexeqdv 2710	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. E U e. e <-> E. e e. ran I U e. e ) )
7	3	uhgrfun 15758	. . . . . 6 |- ( G e. UHGraph -> Fun I )
8	7	funfnd 5316	. . . . 5 |- ( G e. UHGraph -> I Fn dom I )
9		eleq2 2270	. . . . . 6 |- ( e = ( I ` i ) -> ( U e. e <-> U e. ( I ` i ) ) )
10	9	rexrn 5735	. . . . 5 |- ( I Fn dom I -> ( E. e e. ran I U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
11	8, 10	syl 14	. . . 4 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. ran I U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
12	6, 11	bitrd 188	. . 3 |- ( G e. UHGraph -> ( E. e e. E U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
13	12	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. e e. E U e. e <-> E. i e. dom I U e. ( I ` i ) ) )
14	13	bicomd 141	1 |- ( ( G e. UHGraph /\ U e. V ) -> ( E. i e. dom I U e. ( I ` i ) <-> E. e e. E U e. e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   E.wrex 2486   dom cdm 4688   ran crn 4689   Fn wfn 5280   ` cfv 5285  iEdgciedg 15697  Edgcedg 15739  UHGraphcuhgr 15748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fo 5291  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-sub 8275  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-dec 9535  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-edgf 15689  df-vtx 15698  df-iedg 15699  df-edg 15740  df-uhgrm 15750

This theorem is referenced by: (None)