Theorem uhgrvtxedgiedgb 15935

Description: In a hypergraph, a vertex is incident with an edge iff it is contained in an element of the range of the edge function. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 6-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrvtxedgiedgb.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uhgrvtxedgiedgb	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐼,𝑖   𝑈,𝑒,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑒,𝑖)   𝑉(𝑒,𝑖)

Proof of Theorem uhgrvtxedgiedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 15854	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
2		uhgrvtxedgiedgb.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		uhgrvtxedgiedgb.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	3	rneqi 4951	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐼 = ran (iEdg‘𝐺)
5	1, 2, 4	3eqtr4g 2287	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸 = ran 𝐼)
6	5	rexeqdv 2735	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑈 ∈ 𝑒))
7	3	uhgrfun 15871	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
8	7	funfnd 5348	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9		eleq2 2293	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘𝑖) → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
10	9	rexrn 5771	. . . . 5 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
11	8, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
12	6, 11	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
13	12	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
14	13	bicomd 141	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑈 ∈ 𝑒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  dom cdm 4718  ran crn 4719   Fn wfn 5312  ‘cfv 5317  iEdgciedg 15808  Edgcedg 15852  UHGraphcuhgr 15861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fo 5323  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-sub 8315  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-edgf 15800  df-vtx 15809  df-iedg 15810  df-edg 15853  df-uhgrm 15863

This theorem is referenced by: (None)