Theorem wexmiddiffilem 17043

Description: Lemma for wexmiddiffi 17044. The reverse direction, using different notation. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
wexmiddiffilem	|- ( A. x A. y ( x e. Fin -> ( x \ y ) e. Fin ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem wexmiddiffilem

Dummy variables j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4325	. . . . 5 |- { (/) } e. _V
2		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( x e. Fin <-> { (/) } e. Fin ) )
3		difeq1 3340	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> ( x \ y ) = ( { (/) } \ y ) )
4	3	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( ( x \ y ) e. Fin <-> ( { (/) } \ y ) e. Fin ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( x = { (/) } -> ( ( x e. Fin -> ( x \ y ) e. Fin ) <-> ( { (/) } e. Fin -> ( { (/) } \ y ) e. Fin ) ) )
6	5	albidv 1877	. . . . 5 |- ( x = { (/) } -> ( A. y ( x e. Fin -> ( x \ y ) e. Fin ) <-> A. y ( { (/) } e. Fin -> ( { (/) } \ y ) e. Fin ) ) )
7	1, 6	spcv 2919	. . . 4 |- ( A. x A. y ( x e. Fin -> ( x \ y ) e. Fin ) -> A. y ( { (/) } e. Fin -> ( { (/) } \ y ) e. Fin ) )
8		0ex 4260	. . . . 5 |- (/) e. _V
9		snfig 7103	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> { (/) } e. Fin )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 |- { (/) } e. Fin
11	1	rabex 4280	. . . . 5 |- { z e. { (/) } | ph } e. _V
12		difeq2 3341	. . . . . . 7 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } \ y ) = ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) )
13	12	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } \ y ) e. Fin <-> ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) e. Fin ) )
14	13	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( y = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( { (/) } e. Fin -> ( { (/) } \ y ) e. Fin ) <-> ( { (/) } e. Fin -> ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) e. Fin ) ) )
15	11, 14	spcv 2919	. . . 4 |- ( A. y ( { (/) } e. Fin -> ( { (/) } \ y ) e. Fin ) -> ( { (/) } e. Fin -> ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) e. Fin ) )
16	7, 10, 15	mpisyl 1496	. . 3 |- ( A. x A. y ( x e. Fin -> ( x \ y ) e. Fin ) -> ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) e. Fin )
17		fin0or 7190	. . 3 |- ( ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) e. Fin -> ( ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) = (/) \/ E. j j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) ) )
18		notm0 3542	. . . . 5 |- ( -. E. j j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) = (/) )
19	8	snm 3833	. . . . . . 7 |- E. j j e. { (/) }
20	8	snm 3833	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. w w e. { (/) }
21		r19.3rmv 3618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w w e. { (/) } -> ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ph <-> A. z e. { (/) } -. ph )
23		rabeq0 3552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) <-> A. z e. { (/) } -. ph )
24	22, 23	sylbb2 138	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ph -> { z e. { (/) } | ph } = (/) )
25	24	difeq2d 3347	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ph -> ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) = ( { (/) } \ (/) ) )
26		dif0 3596	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } \ (/) ) = { (/) }
27	25, 26	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( -. ph -> ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) = { (/) } )
28	27	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) <-> j e. { (/) } ) )
29	28	exbidv 1878	. . . . . . 7 |- ( -. ph -> ( E. j j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) <-> E. j j e. { (/) } ) )
30	19, 29	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( -. ph -> E. j j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) )
31	30	con3i 641	. . . . 5 |- ( -. E. j j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) -> -. -. ph )
32	18, 31	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) = (/) -> -. -. ph )
33		eldifi 3351	. . . . . 6 |- ( j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) -> j e. { (/) } )
34		eldifn 3352	. . . . . . 7 |- ( j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) -> -. j e. { z e. { (/) } | ph } )
35		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( z = j -> ( ph <-> ph ) )
36	35	elrab 2982	. . . . . . 7 |- ( j e. { z e. { (/) } | ph } <-> ( j e. { (/) } /\ ph ) )
37	34, 36	sylnib 687	. . . . . 6 |- ( j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) -> -. ( j e. { (/) } /\ ph ) )
38	33, 37	mpnanrd 704	. . . . 5 |- ( j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) -> -. ph )
39	38	exlimiv 1651	. . . 4 |- ( E. j j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) -> -. ph )
40	32, 39	orim12i 771	. . 3 |- ( ( ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) = (/) \/ E. j j e. ( { (/) } \ { z e. { (/) } | ph } ) ) -> ( -. -. ph \/ -. ph ) )
41	16, 17, 40	3syl 17	. 2 |- ( A. x A. y ( x e. Fin -> ( x \ y ) e. Fin ) -> ( -. -. ph \/ -. ph ) )
42	41	orcomd 741	1 |- ( A. x A. y ( x e. Fin -> ( x \ y ) e. Fin ) -> ( -. ph \/ -. -. ph ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3709   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  wexmiddiffi  17044