Theorem wrdsymb 10947

Description: A word is a word over the symbols it consists of. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb	|- ( S e. Word A -> S e. Word ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )

Proof of Theorem wrdsymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdf 10926	. . 3 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A )
2		fimadmfo 5489	. . 3 |- ( S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> A -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) -onto-> ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
3		fof 5480	. . 3 |- ( S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) -onto-> ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
5		lencl 10924	. 2 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
6		iswrdinn0 10925	. 2 |- ( ( S : ( 0..^ (♯ ` S ) ) --> ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) /\ (♯ ` S ) e. NN0 ) -> S e. Word ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( S e. Word A -> S e. Word ( S " ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   "cima 4666   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7877   NN0cn0 9246  ..^cfzo 10214  ♯chash 10852  Word cword 10920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-ihash 10853  df-word 10921

This theorem is referenced by: (None)