Theorem lencl 11253

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	|- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

Proof of Theorem lencl

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11251	. . 3 |- ( W e. Word S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( W e. Word S -> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
3		fnfzo0hash 11227	. . . 4 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> (♯ ` W ) = l )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) = l )
5		simprl 531	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> l e. NN0 )
6	4, 5	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
7	2, 6	rexlimddv 2667	1 |- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   NN0cn0 9513  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250

This theorem is referenced by:  iswrdsymb  11267  wrdfin  11268  wrdffz  11270  wrdsymb  11277  wrdsymb0  11282  wrdlenge1n0  11283  wrdlenge2n0  11285  wrdsymb1  11286  eqwrd  11290  wrdred1  11292  wrdred1hash  11293  lswwrd  11296  ccatcl  11306  ccatlen  11308  ccat0  11309  ccatval1  11310  ccatval2  11311  ccatval3  11312  elfzelfzccat  11313  ccatvalfn  11314  ccatsymb  11315  ccatfv0  11316  ccatval21sw  11318  ccatlid  11319  ccatrid  11320  ccatass  11321  ccatrn  11322  lswccatn0lsw  11324  ccatalpha  11326  ccatws1lenp1bg  11348  wrdlenccats1lenm1g  11349  ccatw2s1leng  11351  ccats1val2  11353  ccat1st1st  11354  lswccats1  11356  lswccats1fst  11357  ccatw2s1p1g  11358  ccat2s1fvwd  11360  fzowrddc  11364  swrdnd  11376  swrdrlen  11378  swrdlen2  11379  swrdfv2  11380  swrdlsw  11386  swrdccat2  11388  pfxid  11403  pfxn0  11405  pfxwrdsymbg  11407  addlenpfx  11408  pfxtrcfv0  11411  pfxeq  11413  pfxtrcfvl  11414  pfxsuffeqwrdeq  11415  pfxccat1  11419  pfxcctswrd  11427  lenrevpfxcctswrd  11429  ccats1pfxeq  11431  ccats1pfxeqrex  11432  ccatopth2  11434  cats1un  11438  wrdind  11439  wrd2ind  11440  swrdccatin1  11442  swrdccatin2  11446  pfxccatin12lem2  11448  pfxccatin12lem3  11449  pfxccatin12  11450  pfxccat3  11451  swrdccat  11452  pfxccatpfx2  11454  pfxccat3a  11455  swrdccat3blem  11456  swrdccat3b  11457  pfxccatid  11458  ccats1pfxeqbi  11459  cats1fvn  11481  cats1fvnd  11482  cats1fvd  11483  wrdupgren  16203  wrdumgren  16213  vdegp1aid  16421  vdegp1bid  16422  wksfval  16429  wlkex  16432  iswlkg  16436  wlkcl  16439  wlkclg  16440  wlkeq  16461  wlkv0  16476  wlklenvclwlk  16480  clwwlkccatlem  16507  umgrclwwlkge2  16509  isclwwlkn  16520  clwwlknonex2lem2  16545  konigsbergssiedgwen  16593  konigsberglem5  16599