Theorem lencl 11062

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	|- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

Proof of Theorem lencl

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11060	. . 3 |- ( W e. Word S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( W e. Word S -> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
3		fnfzo0hash 11044	. . . 4 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> (♯ ` W ) = l )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) = l )
5		simprl 529	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> l e. NN0 )
6	4, 5	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
7	2, 6	rexlimddv 2653	1 |- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   -->wf 5310   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   0cc0 7987   NN0cn0 9357  ..^cfzo 10326  ♯chash 10984  Word cword 11058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-ihash 10985  df-word 11059

This theorem is referenced by:  iswrdsymb  11076  wrdfin  11077  wrdffz  11079  wrdsymb  11085  wrdsymb0  11090  wrdlenge1n0  11091  wrdlenge2n0  11093  wrdsymb1  11094  eqwrd  11098  wrdred1  11100  wrdred1hash  11101  lswwrd  11104  ccatcl  11114  ccatlen  11116  ccat0  11117  ccatval1  11118  ccatval2  11119  ccatval3  11120  elfzelfzccat  11121  ccatvalfn  11122  ccatsymb  11123  ccatfv0  11124  ccatval21sw  11126  ccatlid  11127  ccatrid  11128  ccatass  11129  ccatrn  11130  lswccatn0lsw  11132  ccatws1lenp1bg  11154  ccats1val2  11157  ccat1st1st  11158  lswccats1  11160  lswccats1fst  11161  fzowrddc  11165  swrdnd  11177  swrdrlen  11179  swrdlen2  11180  swrdfv2  11181  swrdlsw  11187  swrdccat2  11189  pfxid  11204  pfxn0  11206  pfxwrdsymbg  11208  addlenpfx  11209  pfxtrcfv0  11212  pfxeq  11214  pfxtrcfvl  11215  pfxsuffeqwrdeq  11216  pfxccat1  11220  pfxcctswrd  11228  lenrevpfxcctswrd  11230  ccats1pfxeq  11232  ccats1pfxeqrex  11233  ccatopth2  11235  cats1un  11239  wrdind  11240  wrd2ind  11241  swrdccatin1  11243  swrdccatin2  11247  pfxccatin12lem2  11249  pfxccatin12lem3  11250  pfxccatin12  11251  pfxccat3  11252  swrdccat  11253  pfxccatpfx2  11255  pfxccat3a  11256  swrdccat3blem  11257  swrdccat3b  11258  pfxccatid  11259  ccats1pfxeqbi  11260  cats1fvn  11282  cats1fvnd  11283  cats1fvd  11284  wrdupgren  15881  wrdumgren  15891