Theorem lencl 11331

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	|- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

Proof of Theorem lencl

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11329	. . 3 |- ( W e. Word S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( W e. Word S -> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
3		fnfzo0hash 11301	. . . 4 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> (♯ ` W ) = l )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) = l )
5		simprl 535	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> l e. NN0 )
6	4, 5	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
7	2, 6	rexlimddv 2673	1 |- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8186   NN0cn0 9575  ..^cfzo 10567  ♯chash 11237  Word cword 11327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328

This theorem is used by:  iswrdsymb  11345  wrdfin  11346  wrdffz  11348  wrdsymb  11355  wrdsymb0  11360  wrdlenge1n0  11361  wrdlenge2n0  11363  wrdsymb1  11364  eqwrd  11368  wrdred1  11370  wrdred1hash  11371  lswwrd  11374  ccatcl  11384  ccatlen  11386  ccat0  11387  ccatval1  11388  ccatval2  11389  ccatval3  11390  elfzelfzccat  11391  ccatvalfn  11392  ccatsymb  11393  ccatfv0  11394  ccatval21sw  11396  ccatlid  11397  ccatrid  11398  ccatass  11399  ccatrn  11400  lswccatn0lsw  11402  ccatalpha  11404  ccatws1lenp1bg  11426  wrdlenccats1lenm1g  11427  ccatw2s1leng  11429  ccats1val2  11431  ccat1st1st  11432  lswccats1  11434  lswccats1fst  11435  ccatw2s1p1g  11436  ccat2s1fvwd  11438  fzowrddc  11442  swrdnd  11454  swrdrlen  11456  swrdlen2  11457  swrdfv2  11458  swrdlsw  11464  swrdccat2  11466  pfxid  11481  pfxn0  11483  pfxwrdsymbg  11485  addlenpfx  11486  pfxtrcfv0  11489  pfxeq  11491  pfxtrcfvl  11492  pfxsuffeqwrdeq  11493  pfxccat1  11497  pfxcctswrd  11505  lenrevpfxcctswrd  11507  ccats1pfxeq  11509  ccats1pfxeqrex  11510  ccatopth2  11512  cats1un  11516  wrdind  11517  wrd2ind  11518  swrdccatin1  11520  swrdccatin2  11524  pfxccatin12lem2  11526  pfxccatin12lem3  11527  pfxccatin12  11528  pfxccat3  11529  swrdccat  11530  pfxccatpfx2  11532  pfxccat3a  11533  swrdccat3blem  11534  swrdccat3b  11535  pfxccatid  11536  ccats1pfxeqbi  11537  cats1fvn  11559  cats1fvnd  11560  cats1fvd  11561  wrdupgren  16554  wrdumgren  16564  vdegp1aid  16772  vdegp1bid  16773  wksfval  16780  wlkex  16783  iswlkg  16787  wlkcl  16790  wlkclg  16791  wlkeq  16812  wlkv0  16827  wlklenvclwlk  16831  clwwlkccatlem  16858  umgrclwwlkge2  16860  isclwwlkn  16871  clwwlknonex2lem2  16896  konigsbergssiedgwen  16944  konigsberglem5  16950