Theorem lencl 11323

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	|- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

Proof of Theorem lencl

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 11321	. . 3 |- ( W e. Word S <-> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( W e. Word S -> E. l e. NN0 W : ( 0..^ l ) --> S )
3		fnfzo0hash 11293	. . . 4 |- ( ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) -> (♯ ` W ) = l )
4	3	adantl 277	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) = l )
5		simprl 535	. . 3 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> l e. NN0 )
6	4, 5	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( W e. Word S /\ ( l e. NN0 /\ W : ( 0..^ l ) --> S ) ) -> (♯ ` W ) e. NN0 )
7	2, 6	rexlimddv 2673	1 |- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8180   NN0cn0 9568  ..^cfzo 10560  ♯chash 11229  Word cword 11319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11230  df-word 11320

This theorem is used by:  iswrdsymb  11337  wrdfin  11338  wrdffz  11340  wrdsymb  11347  wrdsymb0  11352  wrdlenge1n0  11353  wrdlenge2n0  11355  wrdsymb1  11356  eqwrd  11360  wrdred1  11362  wrdred1hash  11363  lswwrd  11366  ccatcl  11376  ccatlen  11378  ccat0  11379  ccatval1  11380  ccatval2  11381  ccatval3  11382  elfzelfzccat  11383  ccatvalfn  11384  ccatsymb  11385  ccatfv0  11386  ccatval21sw  11388  ccatlid  11389  ccatrid  11390  ccatass  11391  ccatrn  11392  lswccatn0lsw  11394  ccatalpha  11396  ccatws1lenp1bg  11418  wrdlenccats1lenm1g  11419  ccatw2s1leng  11421  ccats1val2  11423  ccat1st1st  11424  lswccats1  11426  lswccats1fst  11427  ccatw2s1p1g  11428  ccat2s1fvwd  11430  fzowrddc  11434  swrdnd  11446  swrdrlen  11448  swrdlen2  11449  swrdfv2  11450  swrdlsw  11456  swrdccat2  11458  pfxid  11473  pfxn0  11475  pfxwrdsymbg  11477  addlenpfx  11478  pfxtrcfv0  11481  pfxeq  11483  pfxtrcfvl  11484  pfxsuffeqwrdeq  11485  pfxccat1  11489  pfxcctswrd  11497  lenrevpfxcctswrd  11499  ccats1pfxeq  11501  ccats1pfxeqrex  11502  ccatopth2  11504  cats1un  11508  wrdind  11509  wrd2ind  11510  swrdccatin1  11512  swrdccatin2  11516  pfxccatin12lem2  11518  pfxccatin12lem3  11519  pfxccatin12  11520  pfxccat3  11521  swrdccat  11522  pfxccatpfx2  11524  pfxccat3a  11525  swrdccat3blem  11526  swrdccat3b  11527  pfxccatid  11528  ccats1pfxeqbi  11529  cats1fvn  11551  cats1fvnd  11552  cats1fvd  11553  wrdupgren  16459  wrdumgren  16469  vdegp1aid  16677  vdegp1bid  16678  wksfval  16685  wlkex  16688  iswlkg  16692  wlkcl  16695  wlkclg  16696  wlkeq  16717  wlkv0  16732  wlklenvclwlk  16736  clwwlkccatlem  16763  umgrclwwlkge2  16765  isclwwlkn  16776  clwwlknonex2lem2  16801  konigsbergssiedgwen  16849  konigsberglem5  16855