Theorem xle2add 9945

Description: Extended real version of le2add 8463. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xle2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xle2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simprl 529	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xleadd1a 9939	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))
5	4	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ≤ 𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
7		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8		xleadd2a 9940	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷))
9	8	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
10	3, 7, 2, 9	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ≤ 𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
11		xaddcl 9926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
13		xaddcl 9926	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
14	2, 3, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
15		xaddcl 9926	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
17		xrletr 9874	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
19	6, 10, 18	syl2and 295	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝ^*cxr 8053   ≤ cle 8055   +_𝑒 cxad 9836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-xadd 9839

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11419  xmetxp  14675