Theorem xle2add 10260

Description: Extended real version of le2add 8762. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xle2add	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xle2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simprl 535	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3		simplr 533	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4		xleadd1a 10254	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))
5	4	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ≤ 𝐶 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵)))
7		simprr 537	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
8		xleadd2a 10255	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷))
9	8	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
10	3, 7, 2, 9	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐵 ≤ 𝐷 → (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
11		xaddcl 10241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
13		xaddcl 10241	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
14	2, 3, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
15		xaddcl 10241	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
16	15	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
17		xrletr 10189	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → (((𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵) ∧ (𝐶 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))
19	6, 10, 18	syl2and 295	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℝ^*cxr 8349   ≤ cle 8351   +_𝑒 cxad 10151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-xadd 10154

This theorem is referenced by:  xrbdtri  12020  xmetxp  15531