Theorem zdivadd 9371

Description: Property of divisibility: if D divides A and B then it divides A + B. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdivadd	|- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) e. ZZ )

Proof of Theorem zdivadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9287	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
2		zcn 9287	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
3		nncn 8956	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D e. CC )
4		nnap0 8977	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( D e. NN -> ( D e. CC /\ D # 0 ) )
6		divdirap 8683	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( D e. CC /\ D # 0 ) ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1291	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
8	7	3comr 1213	. . 3 |- ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
10		zaddcl 9322	. . 3 |- ( ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) -> ( ( A / D ) + ( B / D ) ) e. ZZ )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A / D ) + ( B / D ) ) e. ZZ )
12	9, 11	eqeltrd 2266	1 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895   CCcc 7838   0cc0 7840   + caddc 7843   # cap 8567   / cdiv 8658   NNcn 8948   ZZcz 9282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283

This theorem is referenced by: (None)