Theorem zdivadd 9345

Description: Property of divisibility: if D divides A and B then it divides A + B. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdivadd	|- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) e. ZZ )

Proof of Theorem zdivadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9261	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
2		zcn 9261	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
3		nncn 8930	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D e. CC )
4		nnap0 8951	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( D e. NN -> ( D e. CC /\ D # 0 ) )
6		divdirap 8657	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( D e. CC /\ D # 0 ) ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1280	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
8	7	3comr 1211	. . 3 |- ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
10		zaddcl 9296	. . 3 |- ( ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) -> ( ( A / D ) + ( B / D ) ) e. ZZ )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A / D ) + ( B / D ) ) e. ZZ )
12	9, 11	eqeltrd 2254	1 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   CCcc 7812   0cc0 7814   + caddc 7817   # cap 8541   / cdiv 8632   NNcn 8922   ZZcz 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257

This theorem is referenced by: (None)