Theorem zdivadd 9337

Description: Property of divisibility: if D divides A and B then it divides A + B. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdivadd	|- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) e. ZZ )

Proof of Theorem zdivadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9253	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
2		zcn 9253	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
3		nncn 8922	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D e. CC )
4		nnap0 8943	. . . . . 6 |- ( D e. NN -> D # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( D e. NN -> ( D e. CC /\ D # 0 ) )
6		divdirap 8649	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( D e. CC /\ D # 0 ) ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1280	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. NN ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
8	7	3comr 1211	. . 3 |- ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
9	8	adantr 276	. 2 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) = ( ( A / D ) + ( B / D ) ) )
10		zaddcl 9288	. . 3 |- ( ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) -> ( ( A / D ) + ( B / D ) ) e. ZZ )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A / D ) + ( B / D ) ) e. ZZ )
12	9, 11	eqeltrd 2254	1 |- ( ( ( D e. NN /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A / D ) e. ZZ /\ ( B / D ) e. ZZ ) ) -> ( ( A + B ) / D ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5871   CCcc 7805   0cc0 7807   + caddc 7810   # cap 8533   / cdiv 8624   NNcn 8914   ZZcz 9248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249

This theorem is referenced by: (None)