Theorem zdivadd 9288

Description: Property of divisibility: if 𝐷 divides 𝐴 and 𝐵 then it divides 𝐴 + 𝐵. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdivadd	⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℤ)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zdivadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		zcn 9204	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncn 8873	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
4		nnap0 8894	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 # 0)
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
6		divdirap 8601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐷) = ((𝐴 / 𝐷) + (𝐵 / 𝐷)))
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐷) = ((𝐴 / 𝐷) + (𝐵 / 𝐷)))
8	7	3comr 1206	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐷) = ((𝐴 / 𝐷) + (𝐵 / 𝐷)))
9	8	adantr 274	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℤ)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐷) = ((𝐴 / 𝐷) + (𝐵 / 𝐷)))
10		zaddcl 9239	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℤ) → ((𝐴 / 𝐷) + (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
11	10	adantl 275	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℤ)) → ((𝐴 / 𝐷) + (𝐵 / 𝐷)) ∈ ℤ)
12	9, 11	eqeltrd 2247	1 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 / 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐷) ∈ ℤ)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐷) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  0cc0 7761   + caddc 7764   # cap 8487   / cdiv 8576  ℕcn 8865  ℤcz 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200

This theorem is referenced by: (None)