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Theorem zsupcllemex 11978
Description: Lemma for zsupcl 11979. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
zsupcllemex.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zsupcllemex.sbm  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
zsupcllemex.mtru  |-  ( ph  ->  ch )
zsupcllemex.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
zsupcllemex.bnd  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Distinct variable groups:    n, M, y    ch, n    j, n, ph, y    ps, j, x, z, y    x, n, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    ch( x, y, z, j)    M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupcllemex.bnd . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
2 simpl 109 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  ph )
3 simprr 531 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -. 
ps )
4 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  M  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  M )
)
54raleqdv 2692 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) )
65anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) ) )
76imbi1d 231 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
8 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  k )
)
98raleqdv 2692 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) )
109anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) ) )
1110imbi1d 231 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
12 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
1312raleqdv 2692 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) )
1413anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) ) )
1514imbi1d 231 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
16 fveq2 5534 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  j  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  j )
)
1716raleqdv 2692 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )
1817anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) ) )
1918imbi1d 231 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
20 zsupcllemex.mtru . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  ch )
22 zsupcllemex.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 uzid 9571 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
24 zsupcllemex.sbm . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2524notbid 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
2625rspcv 2852 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch ) )
2722, 23, 263syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch )
)
2827imp 124 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  -.  ch )
2921, 28pm2.21dd 621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
31 zsupcllemex.dc . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
3231zsupcllemstep 11977 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
337, 11, 15, 19, 30, 32uzind4 9617 . . . 4  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
3433ad2antrl 490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
352, 3, 34mp2and 433 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
361, 35rexlimddv 2612 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   RRcr 7839   1c1 7841    + caddc 7843    < clt 8021   ZZcz 9282   ZZ>=cuz 9557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-inn 8949  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-fz 10038  df-fzo 10172
This theorem is referenced by:  zsupcl  11979  infssuzex  11981  gcdsupex  11989
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