Theorem zsupcllemex 11888

Description: Lemma for zsupcl 11889. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsupcllemex.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
zsupcllemex.sbm	|- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
zsupcllemex.mtru	|- ( ph -> ch )
zsupcllemex.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
zsupcllemex.bnd	|- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )

Assertion

Ref	Expression
zsupcllemex	|- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   n, M, y   ch, n   j, n, ph, y   ps, j, x, z, y   x, n, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   ch( x, y, z, j)   M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupcllemex.bnd	. 2 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
2		simpl 108	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ph )
3		simprr 527	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
4		fveq2 5494	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` M ) )
5	4	raleqdv 2671	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) )
6	5	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) ) )
7	6	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
8		fveq2 5494	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` k ) )
9	8	raleqdv 2671	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) )
10	9	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) ) )
11	10	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
12		fveq2 5494	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
13	12	raleqdv 2671	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) )
14	13	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) ) )
15	14	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
16		fveq2 5494	. . . . . . . 8 |- ( w = j -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` j ) )
17	16	raleqdv 2671	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) )
18	17	anbi2d 461	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) )
19	18	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
20		zsupcllemex.mtru	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> ch )
22		zsupcllemex.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23		uzid 9488	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
24		zsupcllemex.sbm	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
25	24	notbid 662	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( -. ps <-> -. ch ) )
26	25	rspcv 2830	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
27	22, 23, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
28	27	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> -. ch )
29	21, 28	pm2.21dd 615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
31		zsupcllemex.dc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
32	31	zsupcllemstep 11887	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
33	7, 11, 15, 19, 30, 32	uzind4 9534	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
34	33	ad2antrl 487	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
35	2, 3, 34	mp2and 431	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
36	1, 35	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   1c1 7762   + caddc 7764   < clt 7941   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-fzo 10086

This theorem is referenced by:  zsupcl  11889  infssuzex  11891  gcdsupex  11899