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Theorem zsupcllemex 11673
Description: Lemma for zsupcl 11674. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
zsupcllemex.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zsupcllemex.sbm  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
zsupcllemex.mtru  |-  ( ph  ->  ch )
zsupcllemex.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
zsupcllemex.bnd  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Distinct variable groups:    n, M, y    ch, n    j, n, ph, y    ps, j, x, z, y    x, n, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    ch( x, y, z, j)    M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupcllemex.bnd . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
2 simpl 108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  ph )
3 simprr 522 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -. 
ps )
4 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  M  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  M )
)
54raleqdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) )
65anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) ) )
76imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
8 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  k )
)
98raleqdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) )
109anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) ) )
1110imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
12 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
1312raleqdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) )
1413anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) ) )
1514imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
16 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  j  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  j )
)
1716raleqdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )
1817anbi2d 460 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) ) )
1918imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
20 zsupcllemex.mtru . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  ch )
22 zsupcllemex.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 uzid 9363 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
24 zsupcllemex.sbm . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2524notbid 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
2625rspcv 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch ) )
2722, 23, 263syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch )
)
2827imp 123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  -.  ch )
2921, 28pm2.21dd 610 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
31 zsupcllemex.dc . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
3231zsupcllemstep 11672 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
337, 11, 15, 19, 30, 32uzind4 9409 . . . 4  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
3433ad2antrl 482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
352, 3, 34mp2and 430 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
361, 35rexlimddv 2557 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 820    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   class class class wbr 3936   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   RRcr 7642   1c1 7644    + caddc 7646    < clt 7823   ZZcz 9077   ZZ>=cuz 9349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950
This theorem is referenced by:  zsupcl  11674  infssuzex  11676  gcdsupex  11680
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