Theorem zsupcllemex 12083

Description: Lemma for zsupcl 12084. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsupcllemex.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
zsupcllemex.sbm	|- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
zsupcllemex.mtru	|- ( ph -> ch )
zsupcllemex.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
zsupcllemex.bnd	|- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )

Assertion

Ref	Expression
zsupcllemex	|- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   n, M, y   ch, n   j, n, ph, y   ps, j, x, z, y   x, n, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   ch( x, y, z, j)   M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupcllemex.bnd	. 2 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ph )
3		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
4		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` M ) )
5	4	raleqdv 2696	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) )
6	5	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) ) )
7	6	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
8		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` k ) )
9	8	raleqdv 2696	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) )
10	9	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
12		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
13	12	raleqdv 2696	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) )
14	13	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) ) )
15	14	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
16		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( w = j -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` j ) )
17	16	raleqdv 2696	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) )
18	17	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) )
19	18	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
20		zsupcllemex.mtru	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> ch )
22		zsupcllemex.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23		uzid 9606	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
24		zsupcllemex.sbm	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
25	24	notbid 668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( -. ps <-> -. ch ) )
26	25	rspcv 2860	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
27	22, 23, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
28	27	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> -. ch )
29	21, 28	pm2.21dd 621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
31		zsupcllemex.dc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
32	31	zsupcllemstep 12082	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
33	7, 11, 15, 19, 30, 32	uzind4 9653	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
34	33	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
35	2, 3, 34	mp2and 433	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
36	1, 35	rexlimddv 2616	1 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  zsupcl  12084  infssuzex  12086  gcdsupex  12094