Theorem zsupcllemex 10641

Description: Lemma for zsupcl 10642. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsupcllemex.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
zsupcllemex.sbm	|- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
zsupcllemex.mtru	|- ( ph -> ch )
zsupcllemex.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
zsupcllemex.bnd	|- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )

Assertion

Ref	Expression
zsupcllemex	|- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   n, M, y   ch, n   j, n, ph, y   ps, j, x, z, y   x, n, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   ch( x, y, z, j)   M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupcllemex.bnd	. 2 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ph )
3		simprr 537	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
4		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` M ) )
5	4	raleqdv 2755	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) )
6	5	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) ) )
7	6	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
8		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` k ) )
9	8	raleqdv 2755	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) )
10	9	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) ) )
11	10	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
12		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
13	12	raleqdv 2755	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) )
14	13	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) ) )
15	14	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
16		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( w = j -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` j ) )
17	16	raleqdv 2755	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) )
18	17	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) )
19	18	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
20		zsupcllemex.mtru	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> ch )
22		zsupcllemex.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23		uzid 9915	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
24		zsupcllemex.sbm	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
25	24	notbid 677	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( -. ps <-> -. ch ) )
26	25	rspcv 2925	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
27	22, 23, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
28	27	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> -. ch )
29	21, 28	pm2.21dd 629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
31		zsupcllemex.dc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
32	31	zsupcllemstep 10640	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
33	7, 11, 15, 19, 30, 32	uzind4 9967	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
34	33	ad2antrl 494	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
35	2, 3, 34	mp2and 437	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
36	1, 35	rexlimddv 2673	1 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  zsupcl  10642  infssuzex  10644  gcdsupex  12712