Theorem zsupcllemex 11879

Description: Lemma for zsupcl 11880. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsupcllemex.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
zsupcllemex.sbm	|- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
zsupcllemex.mtru	|- ( ph -> ch )
zsupcllemex.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
zsupcllemex.bnd	|- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )

Assertion

Ref	Expression
zsupcllemex	|- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   n, M, y   ch, n   j, n, ph, y   ps, j, x, z, y   x, n, z

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( n)   ch( x, y, z, j)   M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupcllemex.bnd	. 2 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` M ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
2		simpl 108	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ph )
3		simprr 522	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps )
4		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` M ) )
5	4	raleqdv 2667	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) )
6	5	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) ) )
7	6	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
8		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( w = k -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` k ) )
9	8	raleqdv 2667	. . . . . . 7 |- ( w = k -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) )
10	9	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) ) )
11	10	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
12		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) )
13	12	raleqdv 2667	. . . . . . 7 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) )
14	13	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) ) )
15	14	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
16		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( w = j -> ( ZZ>= ` w ) = ( ZZ>= ` j ) )
17	16	raleqdv 2667	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps <-> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) )
18	17	anbi2d 460	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) <-> ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) )
19	18	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( w = j -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` w ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
20		zsupcllemex.mtru	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ch )
21	20	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> ch )
22		zsupcllemex.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
23		uzid 9480	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
24		zsupcllemex.sbm	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = M -> ( ps <-> ch ) )
25	24	notbid 657	. . . . . . . . . 10 |- ( n = M -> ( -. ps <-> -. ch ) )
26	25	rspcv 2826	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
27	22, 23, 26	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps -> -. ch ) )
28	27	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> -. ch )
29	21, 28	pm2.21dd 610	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
30	29	a1i 9	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` M ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
31		zsupcllemex.dc	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID ps )
32	31	zsupcllemstep 11878	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` k ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + 1 ) ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) ) )
33	7, 11, 15, 19, 30, 32	uzind4 9526	. . . 4 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
34	33	ad2antrl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> ( ( ph /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) ) )
35	2, 3, 34	mp2and 430	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. ( ZZ>= ` M ) /\ A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ps ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )
36	1, 35	rexlimddv 2588	1 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ps } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ps } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by:  zsupcl  11880  infssuzex  11882  gcdsupex  11890