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Theorem zsupcllemex 10722
Description: Lemma for zsupcl 10723. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
zsupcllemex.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zsupcllemex.sbm  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
zsupcllemex.mtru  |-  ( ph  ->  ch )
zsupcllemex.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
zsupcllemex.bnd  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Distinct variable groups:    n, M, y    ch, n    j, n, ph, y    ps, j, x, z, y    x, n, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    ch( x, y, z, j)    M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupcllemex.bnd . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
2 simpl 107 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  ph )
3 simprr 499 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -. 
ps )
4 fveq2 5253 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  M  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  M )
)
54raleqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) )
65anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) ) )
76imbi1d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
8 fveq2 5253 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  k )
)
98raleqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) )
109anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) ) )
1110imbi1d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
12 fveq2 5253 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
1312raleqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) )
1413anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) ) )
1514imbi1d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
16 fveq2 5253 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  j  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  j )
)
1716raleqdv 2561 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )
1817anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) ) )
1918imbi1d 229 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
20 zsupcllemex.mtru . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  ch )
22 zsupcllemex.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 uzid 8928 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
24 zsupcllemex.sbm . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2524notbid 625 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
2625rspcv 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch ) )
2722, 23, 263syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch )
)
2827imp 122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  -.  ch )
2921, 28pm2.21dd 583 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
31 zsupcllemex.dc . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
3231zsupcllemstep 10721 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
337, 11, 15, 19, 30, 32uzind4 8971 . . . 4  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
3433ad2antrl 474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
352, 3, 34mp2and 424 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
361, 35rexlimddv 2487 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   {crab 2357   class class class wbr 3811   ` cfv 4969  (class class class)co 5591   RRcr 7252   1c1 7254    + caddc 7256    < clt 7425   ZZcz 8646   ZZ>=cuz 8914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320  df-fzo 9444
This theorem is referenced by:  zsupcl  10723  infssuzex  10725  gcdsupex  10729
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