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Theorem zsupcllemex 11385
Description: Lemma for zsupcl 11386. Existence of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
zsupcllemex.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zsupcllemex.sbm  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
zsupcllemex.mtru  |-  ( ph  ->  ch )
zsupcllemex.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
zsupcllemex.bnd  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
Assertion
Ref Expression
zsupcllemex  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Distinct variable groups:    n, M, y    ch, n    j, n, ph, y    ps, j, x, z, y    x, n, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    ps( n)    ch( x, y, z, j)    M( x, z, j)

Proof of Theorem zsupcllemex
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupcllemex.bnd . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  M ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )
2 simpl 108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  ph )
3 simprr 500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -. 
ps )
4 fveq2 5340 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  M  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  M )
)
54raleqdv 2582 . . . . . . 7  |-  ( w  =  M  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) )
65anbi2d 453 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  M )  -. 
ps ) ) )
76imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
8 fveq2 5340 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  k  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  k )
)
98raleqdv 2582 . . . . . . 7  |-  ( w  =  k  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) )
109anbi2d 453 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  k )  -. 
ps ) ) )
1110imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
12 fveq2 5340 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
1312raleqdv 2582 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) )
1413anbi2d 453 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps ) ) )
1514imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
16 fveq2 5340 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  j  ->  ( ZZ>=
`  w )  =  ( ZZ>= `  j )
)
1716raleqdv 2582 . . . . . . 7  |-  ( w  =  j  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  w )  -. 
ps 
<-> 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )
1817anbi2d 453 . . . . . 6  |-  ( w  =  j  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  <->  ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) ) )
1918imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  j  ->  (
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  w )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
20 zsupcllemex.mtru . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  ch )
22 zsupcllemex.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 uzid 9132 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
24 zsupcllemex.sbm . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2524notbid 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
2625rspcv 2732 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch ) )
2722, 23, 263syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps  ->  -.  ch )
)
2827imp 123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  -.  ch )
2921, 28pm2.21dd 588 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
3029a1i 9 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  M )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
31 zsupcllemex.dc . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  ps )
3231zsupcllemstep 11384 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  k )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )  ->  ( ( ph  /\ 
A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  -. 
ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) ) )
337, 11, 15, 19, 30, 32uzind4 9175 . . . 4  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  { n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
3433ad2antrl 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  -> 
( ( ph  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ps )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) ) )
352, 3, 34mp2and 425 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  A. n  e.  (
ZZ>= `  j )  -. 
ps ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
361, 35rexlimddv 2507 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  |  ps }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ps } y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 783    = wceq 1296    e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   {crab 2374   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   RRcr 7446   1c1 7448    + caddc 7450    < clt 7619   ZZcz 8848   ZZ>=cuz 9118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-fzo 9703
This theorem is referenced by:  zsupcl  11386  infssuzex  11388  gcdsupex  11392
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