Theorem uzind4 9988

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4.1	|- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
uzind4.2	|- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
uzind4.3	|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
uzind4.4	|- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
uzind4.5	|- ( M e. ZZ -> ps )
uzind4.6	|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
uzind4	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ta )

Distinct variable groups:   j, N   ps, j   ch, j   th, j   ta, j   ph, k   j, k, M

Allowed substitution hints:   ph( j)   ps( k)   ch( k)   th( k)   ta( k)   N( k)

Proof of Theorem uzind4

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9926	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		eluzelz 9931	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
3		eluzle 9934	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
4		breq2 4134	. . . 4 |- ( m = N -> ( M <_ m <-> M <_ N ) )
5	4	elrab 2982	. . 3 |- ( N e. { m e. ZZ | M <_ m } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
6	2, 3, 5	sylanbrc 421	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. { m e. ZZ | M <_ m } )
7		uzind4.1	. . 3 |- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
8		uzind4.2	. . 3 |- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
9		uzind4.3	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
10		uzind4.4	. . 3 |- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
11		uzind4.5	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ps )
12		breq2 4134	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( M <_ m <-> M <_ k ) )
13	12	elrab 2982	. . . . 5 |- ( k e. { m e. ZZ | M <_ m } <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
14		eluz2 9927	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) )
15	14	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
16	15	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
17	13, 16	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. { m e. ZZ | M <_ m } ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
18		uzind4.6	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ch -> th ) )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. { m e. ZZ | M <_ m } ) -> ( ch -> th ) )
20	7, 8, 9, 10, 11, 19	uzind3 9759	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. { m e. ZZ | M <_ m } ) -> ta )
21	1, 6, 20	syl2anc 415	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ta )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  uzind4ALT  9989  uzind4s  9990  uzind4s2  9991  uzind4i  9992  zsupcllemex  10663  frec2uzrand  10842  uzsinds  10881  seq3fveq2  10912  seq3shft2  10918  seqshft2g  10919  monoord  10922  seq3split  10925  seqsplitg  10926  seqf1og  10958  seq3id2  10963  seq3homo  10964  seq3z  10965  leexp2r  11030  cvgratnnlemnexp  12291  cvgratnnlemmn  12292  clim2prod  12306  fprodabs  12383  dvdsfac  12627  ennnfonelemkh  13303  gzsumconst  14143