Theorem uzind4 9534

Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind4.1	|- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
uzind4.2	|- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
uzind4.3	|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
uzind4.4	|- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
uzind4.5	|- ( M e. ZZ -> ps )
uzind4.6	|- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
uzind4	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ta )

Distinct variable groups:   j, N   ps, j   ch, j   th, j   ta, j   ph, k   j, k, M

Allowed substitution hints:   ph( j)   ps( k)   ch( k)   th( k)   ta( k)   N( k)

Proof of Theorem uzind4

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9479	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		eluzelz 9483	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
3		eluzle 9486	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
4		breq2 3991	. . . 4 |- ( m = N -> ( M <_ m <-> M <_ N ) )
5	4	elrab 2886	. . 3 |- ( N e. { m e. ZZ | M <_ m } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
6	2, 3, 5	sylanbrc 415	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. { m e. ZZ | M <_ m } )
7		uzind4.1	. . 3 |- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
8		uzind4.2	. . 3 |- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
9		uzind4.3	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
10		uzind4.4	. . 3 |- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
11		uzind4.5	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ps )
12		breq2 3991	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( M <_ m <-> M <_ k ) )
13	12	elrab 2886	. . . . 5 |- ( k e. { m e. ZZ | M <_ m } <-> ( k e. ZZ /\ M <_ k ) )
14		eluz2 9480	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) )
15	14	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
16	15	3expb 1199	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k e. ZZ /\ M <_ k ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
17	13, 16	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. { m e. ZZ | M <_ m } ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
18		uzind4.6	. . . 4 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ch -> th ) )
19	17, 18	syl 14	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. { m e. ZZ | M <_ m } ) -> ( ch -> th ) )
20	7, 8, 9, 10, 11, 19	uzind3 9312	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. { m e. ZZ | M <_ m } ) -> ta )
21	1, 6, 20	syl2anc 409	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   1c1 7762   + caddc 7764   <_ cle 7942   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475

This theorem is referenced by:  uzind4ALT  9535  uzind4s  9536  uzind4s2  9537  uzind4i  9538  frec2uzrand  10348  uzsinds  10385  seq3fveq2  10412  seq3shft2  10416  monoord  10419  seq3split  10422  seq3id2  10452  seq3homo  10453  seq3z  10454  leexp2r  10517  cvgratnnlemnexp  11474  cvgratnnlemmn  11475  clim2prod  11489  fprodabs  11566  dvdsfac  11807  zsupcllemex  11888  ennnfonelemkh  12354