ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdsupex Unicode version

Theorem gcdsupex 11669
Description: Existence of the supremum used in defining  gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
gcdsupex  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  | 
( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y
) } y  < 
z ) ) )
Distinct variable groups:    n, X, x, y, z    n, Y, x, y, z

Proof of Theorem gcdsupex
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 9100 . 2  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  1  e.  ZZ )
2 breq1 3935 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  X  <->  1  ||  X ) )
3 breq1 3935 . . 3  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  Y  <->  1  ||  Y ) )
42, 3anbi12d 464 . 2  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  ||  X  /\  n  ||  Y )  <-> 
( 1  ||  X  /\  1  ||  Y ) ) )
5 1dvds 11530 . . . 4  |-  ( X  e.  ZZ  ->  1  ||  X )
6 1dvds 11530 . . . 4  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  1  ||  Y )
75, 6anim12i 336 . . 3  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( 1  ||  X  /\  1  ||  Y ) )
87adantr 274 . 2  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( 1  ||  X  /\  1  ||  Y
) )
9 elnnuz 9381 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109biimpri 132 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  n  e.  NN )
11 simpll 518 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  X  e.  ZZ )
12 dvdsdc 11524 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  -> DECID  n 
||  X )
1310, 11, 12syl2an2 583 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
n  ||  X )
14 simplr 519 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
15 dvdsdc 11524 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  /\  Y  e.  ZZ )  -> DECID  n 
||  Y )
1610, 14, 15syl2an2 583 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
n  ||  Y )
17 dcan 918 . . . 4  |-  (DECID  n  ||  X  ->  (DECID  n  ||  Y  -> DECID  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) ) )
1813, 16, 17sylc 62 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )  -> DECID 
( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
1918adantlr 468 . 2  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
20 simplll 522 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  e.  ZZ )
21 dvdsbnd 11668 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X )
22 nnuz 9380 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2322rexeqi 2631 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X  <->  E. j  e.  (
ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X )
2421, 23sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X )
25 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  ||  X  ->  -.  n  ||  X )
2625intnanrd 917 . . . . . . 7  |-  ( -.  n  ||  X  ->  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
2726ralimi 2495 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
2827reximi 2529 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  X  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
2924, 28syl 14 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3020, 29sylancom 416 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  X  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
31 simpllr 523 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  Y  =/=  0 )  ->  Y  e.  ZZ )
32 dvdsbnd 11668 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y )
3322rexeqi 2631 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y  <->  E. j  e.  (
ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y )
3432, 33sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y )
35 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  ||  Y  ->  -.  n  ||  Y )
3635intnand 916 . . . . . . 7  |-  ( -.  n  ||  Y  ->  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3736ralimi 2495 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3837reximi 2529 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  n  ||  Y  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
3934, 38syl 14 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  ZZ  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>=
`  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
4031, 39sylancom 416 . . 3  |-  ( ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
) )  /\  Y  =/=  0 )  ->  E. j  e.  ( ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>=
`  j )  -.  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
41 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )
42 simpll 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  X  e.  ZZ )
43 0z 9084 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
44 zdceq 9145 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  X  =  0 )
4542, 43, 44sylancl 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  -> DECID 
X  =  0 )
46 ianordc 884 . . . . . 6  |-  (DECID  X  =  0  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0
)  <->  ( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) ) )
4745, 46syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 )  <-> 
( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) ) )
4841, 47mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) )
49 df-ne 2309 . . . . 5  |-  ( X  =/=  0  <->  -.  X  =  0 )
50 df-ne 2309 . . . . 5  |-  ( Y  =/=  0  <->  -.  Y  =  0 )
5149, 50orbi12i 753 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  0  \/  Y  =/=  0 )  <-> 
( -.  X  =  0  \/  -.  Y  =  0 ) )
5248, 51sylibr 133 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  ( X  =/=  0  \/  Y  =/=  0 ) )
5330, 40, 52mpjaodan 787 . 2  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  E. j  e.  (
ZZ>= `  1 ) A. n  e.  ( ZZ>= `  j )  -.  (
n  ||  X  /\  n  ||  Y ) )
541, 4, 8, 19, 53zsupcllemex 11662 1  |-  ( ( ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  /\  -.  ( X  =  0  /\  Y  =  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  ( A. y  e.  {
n  e.  ZZ  | 
( n  ||  X  /\  n  ||  Y ) }  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  X  /\  n  ||  Y
) } y  < 
z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697  DECID wdc 819    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   class class class wbr 3932   ` cfv 5126   RRcr 7638   0cc0 7639   1c1 7640    < clt 7819   NNcn 8739   ZZcz 9073   ZZ>=cuz 9345    || cdvds 11516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-fl 10067  df-mod 10120  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-dvds 11517
This theorem is referenced by:  gcddvds  11675  dvdslegcd  11676
  Copyright terms: Public domain W3C validator