Theorem gcdsupex 12493

Description: Existence of the supremum used in defining gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
gcdsupex	|- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } y < z ) ) )

Distinct variable groups:   n, X, x, y, z   n, Y, x, y, z

Proof of Theorem gcdsupex

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9484	. 2 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> 1 e. ZZ )
2		breq1 4086	. . 3 |- ( n = 1 -> ( n || X <-> 1 || X ) )
3		breq1 4086	. . 3 |- ( n = 1 -> ( n || Y <-> 1 || Y ) )
4	2, 3	anbi12d 473	. 2 |- ( n = 1 -> ( ( n || X /\ n || Y ) <-> ( 1 || X /\ 1 || Y ) ) )
5		1dvds 12331	. . . 4 |- ( X e. ZZ -> 1 || X )
6		1dvds 12331	. . . 4 |- ( Y e. ZZ -> 1 || Y )
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 |- ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( 1 || X /\ 1 || Y ) )
8	7	adantr 276	. 2 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( 1 || X /\ 1 || Y ) )
9		elnnuz 9771	. . . . . 6 |- ( n e. NN <-> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
10	9	biimpri 133	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> n e. NN )
11		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> X e. ZZ )
12		dvdsdc 12324	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ X e. ZZ ) -> DECID n || X )
13	10, 11, 12	syl2an2 596	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n || X )
14		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> Y e. ZZ )
15		dvdsdc 12324	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ Y e. ZZ ) -> DECID n || Y )
16	10, 14, 15	syl2an2 596	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID n || Y )
17	13, 16	dcand 938	. . 3 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID ( n || X /\ n || Y ) )
18	17	adantlr 477	. 2 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ n e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID ( n || X /\ n || Y ) )
19		dvdsbnd 12492	. . . . . 6 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
20		nnuz 9770	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
21	20	rexeqi 2733	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X <-> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
22	19, 21	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X )
23		id 19	. . . . . . . 8 |- ( -. n || X -> -. n || X )
24	23	intnanrd 937	. . . . . . 7 |- ( -. n || X -> -. ( n || X /\ n || Y ) )
25	24	ralimi 2593	. . . . . 6 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
26	25	reximi 2627	. . . . 5 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || X -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
27	22, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ( X e. ZZ /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
28	27	ad4ant14 514	. . 3 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ X =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
29		dvdsbnd 12492	. . . . . 6 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
30	20	rexeqi 2733	. . . . . 6 |- ( E. j e. NN A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y <-> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
31	29, 30	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y )
32		id 19	. . . . . . . 8 |- ( -. n || Y -> -. n || Y )
33	32	intnand 936	. . . . . . 7 |- ( -. n || Y -> -. ( n || X /\ n || Y ) )
34	33	ralimi 2593	. . . . . 6 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
35	34	reximi 2627	. . . . 5 |- ( E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. n || Y -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
36	31, 35	syl 14	. . . 4 |- ( ( Y e. ZZ /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
37	36	ad4ant24 516	. . 3 |- ( ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) /\ Y =/= 0 ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
38		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) )
39		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> X e. ZZ )
40		0z 9468	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
41		zdceq 9533	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID X = 0 )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> DECID X = 0 )
43		ianordc 904	. . . . . 6 |- (DECID X = 0 -> ( -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) ) )
45	38, 44	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) )
46		df-ne 2401	. . . . 5 |- ( X =/= 0 <-> -. X = 0 )
47		df-ne 2401	. . . . 5 |- ( Y =/= 0 <-> -. Y = 0 )
48	46, 47	orbi12i 769	. . . 4 |- ( ( X =/= 0 \/ Y =/= 0 ) <-> ( -. X = 0 \/ -. Y = 0 ) )
49	45, 48	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> ( X =/= 0 \/ Y =/= 0 ) )
50	28, 37, 49	mpjaodan 803	. 2 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> E. j e. ( ZZ>= ` 1 ) A. n e. ( ZZ>= ` j ) -. ( n || X /\ n || Y ) )
51	1, 4, 8, 18, 50	zsupcllemex 10462	1 |- ( ( ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) /\ -. ( X = 0 /\ Y = 0 ) ) -> E. x e. ZZ ( A. y e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. { n e. ZZ | ( n || X /\ n || Y ) } y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   < clt 8192   NNcn 9121   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   || cdvds 12313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-fl 10502  df-mod 10557  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-dvds 12314

This theorem is referenced by:  gcddvds  12499  dvdslegcd  12500