Theorem sum0 12180

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9974	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9681	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		0ss 3561	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5, 1	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
7		c0ex 8327	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
9	6, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10		noel 3525	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	iffalsei 3649	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
12	9, 11	eqtr4di 2289	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
13		noel 3525	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ ∅
14	13	olci 744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
15		df-dc 847	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ DECID 𝑗 ∈ ∅
17	16	rgenw 2605	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
19	10	pm2.21i 655	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	1, 2, 4, 12, 18, 20	zsumdc 12176	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
22	21	mptru 1411	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
23		fclim 12085	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
24		ffun 5539	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
26		1z 9680	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		serclim0 12096	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
28	26, 27	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
29		funbrfv 5742	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
30	25, 28, 29	mp2 16	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
31	22, 30	eqtri 2259	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   × cxp 4774  dom cdm 4776  Fun wfun 5374  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  ℂcc 8184  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189  ℕcn 9314  ℤcz 9654  ℤ_≥cuz 9937  seqcseq 10905   ⇝ cli 12069  Σcsu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  isumz  12181  fsumf1o  12182  fsumcllem  12191  fsumadd  12198  fsum2d  12227  fisumrev2  12238  fsummulc2  12240  fsumconst  12246  modfsummod  12250  fsumabs  12257  telfsumo  12258  fsumparts  12262  fsumrelem  12263  fsumiun  12269  isumsplit  12283  arisum  12290  arisum2  12291  cvgratnnlemseq  12318  bitsinv1  12754  gsumfsum  15032  fsumcncntop  15826  dvmptfsum  15984  logfac  16159  log2ublem3  16256  cht1  16304