Theorem sum0 11907

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9766	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9481	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		0ss 3530	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5, 1	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
7		c0ex 8148	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 5859	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
9	6, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10		noel 3495	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	iffalsei 3611	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
12	9, 11	eqtr4di 2280	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
13		noel 3495	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ ∅
14	13	olci 737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
15		df-dc 840	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ DECID 𝑗 ∈ ∅
17	16	rgenw 2585	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
19	10	pm2.21i 649	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	1, 2, 4, 12, 18, 20	zsumdc 11903	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
22	21	mptru 1404	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
23		fclim 11813	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
24		ffun 5476	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
26		1z 9480	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		serclim0 11824	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
28	26, 27	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
29		funbrfv 5672	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
30	25, 28, 29	mp2 16	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
31	22, 30	eqtri 2250	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4717  dom cdm 4719  Fun wfun 5312  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010  ℕcn 9118  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  seqcseq 10677   ⇝ cli 11797  Σcsu 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873

This theorem is referenced by:  isumz  11908  fsumf1o  11909  fsumcllem  11918  fsumadd  11925  fsum2d  11954  fisumrev2  11965  fsummulc2  11967  fsumconst  11973  modfsummod  11977  fsumabs  11984  telfsumo  11985  fsumparts  11989  fsumrelem  11990  fsumiun  11996  isumsplit  12010  arisum  12017  arisum2  12018  cvgratnnlemseq  12045  bitsinv1  12481  gsumfzfsumlem0  14558  fsumcncntop  15249  dvmptfsum  15407