Theorem sum0 12070

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9889	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9603	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		0ss 3546	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5, 1	eleqtrdi 2325	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
7		c0ex 8267	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 5899	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
9	6, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10		noel 3511	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	iffalsei 3630	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
12	9, 11	eqtr4di 2283	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
13		noel 3511	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ ∅
14	13	olci 740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
15		df-dc 843	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ DECID 𝑗 ∈ ∅
17	16	rgenw 2597	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
19	10	pm2.21i 651	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	1, 2, 4, 12, 18, 20	zsumdc 12066	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
22	21	mptru 1407	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
23		fclim 11975	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
24		ffun 5510	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
26		1z 9602	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		serclim0 11986	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
28	26, 27	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
29		funbrfv 5712	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
30	25, 28, 29	mp2 16	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
31	22, 30	eqtri 2253	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507  ifcif 3619  {csn 3688   class class class wbr 4108   × cxp 4746  dom cdm 4748  Fun wfun 5345  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  ℂcc 8124  0cc0 8126  1c1 8127   + caddc 8129  ℕcn 9236  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  seqcseq 10808   ⇝ cli 11959  Σcsu 12034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035

This theorem is referenced by:  isumz  12071  fsumf1o  12072  fsumcllem  12081  fsumadd  12088  fsum2d  12117  fisumrev2  12128  fsummulc2  12130  fsumconst  12136  modfsummod  12140  fsumabs  12147  telfsumo  12148  fsumparts  12152  fsumrelem  12153  fsumiun  12159  isumsplit  12173  arisum  12180  arisum2  12181  cvgratnnlemseq  12208  bitsinv1  12644  gsumfzfsumlem0  14726  fsumcncntop  15424  dvmptfsum  15582