Theorem sum0 11749

Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sum0	⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9697	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9412	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		0ss 3501	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
5		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	5, 1	eleqtrdi 2299	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
7		c0ex 8079	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8	7	fvconst2 5810	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
9	6, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10		noel 3466	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
11	10	iffalsei 3582	. . . . 5 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
12	9, 11	eqtr4di 2257	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ≥‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
13		noel 3466	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ ∅
14	13	olci 734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
15		df-dc 837	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
16	14, 15	mpbir 146	. . . . . 6 ⊢ DECID 𝑗 ∈ ∅
17	16	rgenw 2562	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
18	17	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
19	10	pm2.21i 647	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	1, 2, 4, 12, 18, 20	zsumdc 11745	. . 3 ⊢ (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))))
22	21	mptru 1382	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})))
23		fclim 11655	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
24		ffun 5435	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
25	23, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
26		1z 9411	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
27		serclim0 11666	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0)
28	26, 27	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0
29		funbrfv 5627	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0))
30	25, 28, 29	mp2 16	. 2 ⊢ ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ≥‘1) × {0}))) = 0
31	22, 30	eqtri 2227	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ⊆ wss 3168  ∅c0 3462  ifcif 3573  {csn 3635   class class class wbr 4048   × cxp 4678  dom cdm 4680  Fun wfun 5271  ⟶wf 5273  ‘cfv 5277  ℂcc 7936  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941  ℕcn 9049  ℤcz 9385  ℤ_≥cuz 9661  seqcseq 10605   ⇝ cli 11639  Σcsu 11714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-sumdc 11715

This theorem is referenced by:  isumz  11750  fsumf1o  11751  fsumcllem  11760  fsumadd  11767  fsum2d  11796  fisumrev2  11807  fsummulc2  11809  fsumconst  11815  modfsummod  11819  fsumabs  11826  telfsumo  11827  fsumparts  11831  fsumrelem  11832  fsumiun  11838  isumsplit  11852  arisum  11859  arisum2  11860  cvgratnnlemseq  11887  bitsinv1  12323  gsumfzfsumlem0  14398  fsumcncntop  15089  dvmptfsum  15247