ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sum0 GIF version

Theorem sum0 11125
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9329 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9049 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 0ss 3371 . . . . 5 ∅ ⊆ ℕ
43a1i 9 . . . 4 (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
5 simpr 109 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
65, 1eleqtrdi 2210 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
7 c0ex 7728 . . . . . . 7 0 ∈ V
87fvconst2 5604 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
96, 8syl 14 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
10 noel 3337 . . . . . 6 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1110iffalsei 3453 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
129, 11syl6eqr 2168 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
13 noel 3337 . . . . . . . 8 ¬ 𝑗 ∈ ∅
1413olci 706 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
15 df-dc 805 . . . . . . 7 (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
1614, 15mpbir 145 . . . . . 6 DECID 𝑗 ∈ ∅
1716rgenw 2464 . . . . 5 𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
1817a1i 9 . . . 4 (⊤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
1910pm2.21i 620 . . . . 5 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
2019adantl 275 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
211, 2, 4, 12, 18, 20zsumdc 11121 . . 3 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))))
2221mptru 1325 . 2 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
23 fclim 11031 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
24 ffun 5245 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2523, 24ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
26 1z 9048 . . . 4 1 ∈ ℤ
27 serclim0 11042 . . . 4 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
2826, 27ax-mp 5 . . 3 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
29 funbrfv 5428 . . 3 (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0))
3025, 28, 29mp2 16 . 2 ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0
3122, 30eqtri 2138 1 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wo 682  DECID wdc 804   = wceq 1316  wtru 1317  wcel 1465  wral 2393  wss 3041  c0 3333  ifcif 3444  {csn 3497   class class class wbr 3899   × cxp 4507  dom cdm 4509  Fun wfun 5087  wf 5089  cfv 5093  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591  cn 8688  cz 9022  cuz 9294  seqcseq 10186  cli 11015  Σcsu 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091
This theorem is referenced by:  isumz  11126  fsumf1o  11127  fsumcllem  11136  fsumadd  11143  fsum2d  11172  fisumrev2  11183  fsummulc2  11185  fsumconst  11191  modfsummod  11195  fsumabs  11202  telfsumo  11203  fsumparts  11207  fsumrelem  11208  fsumiun  11214  isumsplit  11228  arisum  11235  arisum2  11236  cvgratnnlemseq  11263  fsumcncntop  12652
  Copyright terms: Public domain W3C validator