Theorem prod0 11728

Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod0	⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Proof of Theorem prod0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9343	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 9628	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		id 19	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
4		1ap0 8609	. . . 4 ⊢ 1 # 0
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 # 0)
6	2	prodfclim1 11687	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1)
7		noel 3450	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ ∅
8	7	olci 733	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
9		df-dc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
10	8, 9	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ DECID 𝑗 ∈ ∅
11	10	rgenw 2549	. . . 4 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
13		0ss 3485	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∅ ⊆ ℕ)
15		fvconst2g 5772	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = 1)
16		noel 3450	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
17	16	iffalsei 3566	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1) = 1
18	15, 17	eqtr4di 2244	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1))
19	16	pm2.21i 647	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	2, 3, 5, 6, 12, 14, 18, 20	zprodap0 11724	. 2 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  ifcif 3557  {csn 3618   class class class wbr 4029   × cxp 4657  ‘cfv 5254  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   # cap 8600  ℕcn 8982  ℤcz 9317  ∏cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by:  prod1dc  11729  fprodf1o  11731  fprodmul  11734  fprodcl2lem  11748  fprodcllem  11749  fprodfac  11758  fprodconst  11763  fprodap0  11764  fprod2d  11766  fprodrec  11772  fprodap0f  11779  fprodle  11783  fprodmodd  11784  gausslemma2dlem4  15180