Theorem prod0 11482

Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod0	⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Proof of Theorem prod0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9193	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 9474	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		id 19	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
4		1ap0 8465	. . . 4 ⊢ 1 # 0
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 # 0)
6	2	prodfclim1 11441	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1)
7		noel 3398	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ ∅
8	7	olci 722	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
9		df-dc 821	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
10	8, 9	mpbir 145	. . . . 5 ⊢ DECID 𝑗 ∈ ∅
11	10	rgenw 2512	. . . 4 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
13		0ss 3432	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∅ ⊆ ℕ)
15		fvconst2g 5681	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = 1)
16		noel 3398	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
17	16	iffalsei 3514	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1) = 1
18	15, 17	eqtr4di 2208	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1))
19	16	pm2.21i 636	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantl 275	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	2, 3, 5, 6, 12, 14, 18, 20	zprodap0 11478	. 2 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  ifcif 3505  {csn 3560   class class class wbr 3965   × cxp 4584  ‘cfv 5170  ℂcc 7730  0cc0 7732  1c1 7733   # cap 8456  ℕcn 8833  ℤcz 9167  ∏cprod 11447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-proddc 11448

This theorem is referenced by:  prod1dc  11483  fprodf1o  11485  fprodmul  11488  fprodcl2lem  11502  fprodcllem  11503  fprodfac  11512  fprodconst  11517  fprodap0  11518  fprod2d  11520  fprodrec  11526  fprodap0f  11533  fprodle  11537  fprodmodd  11538