Theorem prod0 11588

Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod0	⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Proof of Theorem prod0

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9277	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 9561	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		id 19	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
4		1ap0 8545	. . . 4 ⊢ 1 # 0
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 # 0)
6	2	prodfclim1 11547	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , (ℕ × {1})) ⇝ 1)
7		noel 3426	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑗 ∈ ∅
8	7	olci 732	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅)
9		df-dc 835	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑗 ∈ ∅ ↔ (𝑗 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑗 ∈ ∅))
10	8, 9	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ DECID 𝑗 ∈ ∅
11	10	rgenw 2532	. . . 4 ⊢ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ ∅)
13		0ss 3461	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ ℕ
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∅ ⊆ ℕ)
15		fvconst2g 5730	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = 1)
16		noel 3426	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
17	16	iffalsei 3543	. . . 4 ⊢ if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1) = 1
18	15, 17	eqtr4di 2228	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 1))
19	16	pm2.21i 646	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	2, 3, 5, 6, 12, 14, 18, 20	zprodap0 11584	. 2 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592   class class class wbr 4003   × cxp 4624  ‘cfv 5216  ℂcc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   # cap 8536  ℕcn 8917  ℤcz 9251  ∏cprod 11553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-proddc 11554

This theorem is referenced by:  prod1dc  11589  fprodf1o  11591  fprodmul  11594  fprodcl2lem  11608  fprodcllem  11609  fprodfac  11618  fprodconst  11623  fprodap0  11624  fprod2d  11626  fprodrec  11632  fprodap0f  11639  fprodle  11643  fprodmodd  11644