![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > prod0 | GIF version |
Description: A product over the empty set is one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
prod0 | โข โ๐ โ โ ๐ด = 1 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1z 9279 | . 2 โข 1 โ โค | |
2 | nnuz 9563 | . . 3 โข โ = (โคโฅโ1) | |
3 | id 19 | . . 3 โข (1 โ โค โ 1 โ โค) | |
4 | 1ap0 8547 | . . . 4 โข 1 # 0 | |
5 | 4 | a1i 9 | . . 3 โข (1 โ โค โ 1 # 0) |
6 | 2 | prodfclim1 11552 | . . 3 โข (1 โ โค โ seq1( ยท , (โ ร {1})) โ 1) |
7 | noel 3427 | . . . . . . 7 โข ยฌ ๐ โ โ | |
8 | 7 | olci 732 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ โจ ยฌ ๐ โ โ ) |
9 | df-dc 835 | . . . . . 6 โข (DECID ๐ โ โ โ (๐ โ โ โจ ยฌ ๐ โ โ )) | |
10 | 8, 9 | mpbir 146 | . . . . 5 โข DECID ๐ โ โ |
11 | 10 | rgenw 2532 | . . . 4 โข โ๐ โ โ DECID ๐ โ โ |
12 | 11 | a1i 9 | . . 3 โข (1 โ โค โ โ๐ โ โ DECID ๐ โ โ ) |
13 | 0ss 3462 | . . . 4 โข โ โ โ | |
14 | 13 | a1i 9 | . . 3 โข (1 โ โค โ โ โ โ) |
15 | fvconst2g 5731 | . . . 4 โข ((1 โ โค โง ๐ โ โ) โ ((โ ร {1})โ๐) = 1) | |
16 | noel 3427 | . . . . 5 โข ยฌ ๐ โ โ | |
17 | 16 | iffalsei 3544 | . . . 4 โข if(๐ โ โ , ๐ด, 1) = 1 |
18 | 15, 17 | eqtr4di 2228 | . . 3 โข ((1 โ โค โง ๐ โ โ) โ ((โ ร {1})โ๐) = if(๐ โ โ , ๐ด, 1)) |
19 | 16 | pm2.21i 646 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ๐ด โ โ) |
20 | 19 | adantl 277 | . . 3 โข ((1 โ โค โง ๐ โ โ ) โ ๐ด โ โ) |
21 | 2, 3, 5, 6, 12, 14, 18, 20 | zprodap0 11589 | . 2 โข (1 โ โค โ โ๐ โ โ ๐ด = 1) |
22 | 1, 21 | ax-mp 5 | 1 โข โ๐ โ โ ๐ด = 1 |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โง wa 104 โจ wo 708 DECID wdc 834 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwral 2455 โ wss 3130 โ c0 3423 ifcif 3535 {csn 3593 class class class wbr 4004 ร cxp 4625 โcfv 5217 โcc 7809 0cc0 7811 1c1 7812 # cap 8538 โcn 8919 โคcz 9253 โcprod 11558 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-oadd 6421 df-er 6535 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-ihash 10756 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-proddc 11559 |
This theorem is referenced by: prod1dc 11594 fprodf1o 11596 fprodmul 11599 fprodcl2lem 11613 fprodcllem 11614 fprodfac 11623 fprodconst 11628 fprodap0 11629 fprod2d 11631 fprodrec 11637 fprodap0f 11644 fprodle 11648 fprodmodd 11649 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |