ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltaddlt1le GIF version

Theorem zltaddlt1le 10006
Description: The sum of an integer and a real number between 0 and 1 is less than or equal to a second integer iff the sum is less than the second integer. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
zltaddlt1le ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltaddlt1le
StepHypRef Expression
1 zre 9256 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21adantr 276 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3 elioore 9911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
43adantl 277 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52, 4readdcld 7986 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
653adant2 1016 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
7 zre 9256 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
873ad2ant2 1019 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 ltle 8044 . . 3 (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
106, 8, 9syl2anc 411 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
11 elioo3g 9909 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴𝐴 < 1)))
12 simpl 109 . . . . . 6 ((0 < 𝐴𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
1311, 12simplbiim 387 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝐴)
143, 13elrpd 9692 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
15 addlelt 9767 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁𝑀 < 𝑁))
161, 7, 14, 15syl3an 1280 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁𝑀 < 𝑁))
17 zltp1le 9306 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
18173adant3 1017 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
1933ad2ant3 1020 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 1red 7971 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
2113ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22 simpr 110 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐴𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
2311, 22simplbiim 387 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 < 1)
24233ad2ant3 1020 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 1)
2519, 20, 21, 24ltadd2dd 8378 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1))
26 peano2z 9288 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
2726zred 9374 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
28273ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29 ltletr 8046 . . . . . 6 (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
306, 28, 8, 29syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
3125, 30mpand 429 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
3218, 31sylbid 150 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
3316, 32syld 45 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
3410, 33impbid 129 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813  *cxr 7990   < clt 7991  cle 7992  cz 9252  +crp 9652  (,)cioo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-rp 9653  df-ioo 9891
This theorem is referenced by:  halfleoddlt  11898
  Copyright terms: Public domain W3C validator