Theorem zltaddlt1le 10001

Description: The sum of an integer and a real number between 0 and 1 is less than or equal to a second integer iff the sum is less than the second integer. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zltaddlt1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltaddlt1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9251	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		elioore 9906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 7981	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	3adant2 1016	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
7		zre 9251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		ltle 8039	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
11		elioo3g 9904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
12		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
13	11, 12	simplbiim 387	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝐴)
14	3, 13	elrpd 9687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		addlelt 9762	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
16	1, 7, 14, 15	syl3an 1280	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
17		zltp1le 9301	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	3adant3 1017	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
19	3	3ad2ant3 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		1red 7967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
21	1	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
23	11, 22	simplbiim 387	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 < 1)
24	23	3ad2ant3 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 1)
25	19, 20, 21, 24	ltadd2dd 8373	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1))
26		peano2z 9283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
27	26	zred 9369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
28	27	3ad2ant1 1018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29		ltletr 8041	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
30	6, 28, 8, 29	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
31	25, 30	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
32	18, 31	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
33	16, 32	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
34	10, 33	impbid 129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4001  (class class class)co 5870  ℝcr 7805  0cc0 7806  1c1 7807   + caddc 7809  ℝ^*cxr 7985   < clt 7986   ≤ cle 7987  ℤcz 9247  ℝ⁺crp 9647  (,)cioo 9882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-addcom 7906  ax-addass 7908  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-ltadd 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-br 4002  df-opab 4063  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-inn 8914  df-n0 9171  df-z 9248  df-rp 9648  df-ioo 9886

This theorem is referenced by:  halfleoddlt  11889