Theorem zltaddlt1le 10341

Description: The sum of an integer and a real number between 0 and 1 is less than or equal to a second integer iff the sum is less than the second integer. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zltaddlt1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltaddlt1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9581	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3		elioore 10245	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 8303	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	3adant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ)
7		zre 9581	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant2 1046	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		ltle 8361	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))
11		elioo3g 10243	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) ↔ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1)))
12		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 0 < 𝐴)
13	11, 12	simplbiim 387	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝐴)
14	3, 13	elrpd 10026	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
15		addlelt 10101	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
16	1, 7, 14, 15	syl3an 1316	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
17		zltp1le 9632	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
18	17	3adant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
19	3	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		1red 8289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
21	1	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 1) → 𝐴 < 1)
23	11, 22	simplbiim 387	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)1) → 𝐴 < 1)
24	23	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 1)
25	19, 20, 21, 24	ltadd2dd 8696	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1))
26		peano2z 9613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
27	26	zred 9700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
28	27	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
29		ltletr 8363	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
30	6, 28, 8, 29	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (((𝑀 + 𝐴) < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
31	25, 30	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
32	18, 31	sylbid 150	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
33	16, 32	syld 45	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁 → (𝑀 + 𝐴) < 𝑁))
34	10, 33	impbid 129	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (0(,)1)) → ((𝑀 + 𝐴) < 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐴) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130  ℝ^*cxr 8307   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℤcz 9577  ℝ⁺crp 9986  (,)cioo 10221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-rp 9987  df-ioo 10225

This theorem is referenced by:  halfleoddlt  12580