ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnegexlem2 GIF version

Theorem cnegexlem2 7637
Description: Existence of a real number which produces a real number when multiplied by i. (Hint: zero is such a number, although we don't need to prove that yet). Lemma for cnegex 7639. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnegexlem2 𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ

Proof of Theorem cnegexlem2
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 7459 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnre 7463 . 2 (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
3 ax-rnegex 7433 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑧) = 0)
43adantr 270 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑧) = 0)
5 recn 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 ax-icn 7419 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
7 recn 7454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8 mulcl 7448 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
96, 7, 8sylancr 405 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10 recn 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
11 addid2 7600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℂ → (0 + 𝑧) = 𝑧)
12113ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0 + 𝑧) = 𝑧)
1312adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (0 + 𝑧) = 𝑧)
14 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 + 𝑧) = 0 → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
1514ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
16 add32 7620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧))
17163com23 1149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧))
18 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 + 𝑧) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧))
1918eqcomd 2093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧) = (0 + 𝑧))
2017, 19sylan9eq 2140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + 𝑧))
2120adantrl 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + 𝑧))
22 addid2 7600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
23223ad2ant2 965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
2423adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
2515, 21, 243eqtr3d 2128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (0 + 𝑧) = (i · 𝑦))
2613, 25eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → 𝑧 = (i · 𝑦))
2726ex 113 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 = (i · 𝑦)))
285, 9, 10, 27syl3an 1216 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 = (i · 𝑦)))
29283expa 1143 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 = (i · 𝑦)))
3029imp 122 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → 𝑧 = (i · 𝑦))
31 simplr 497 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
3230, 31eqeltrrd 2165 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (i · 𝑦) ∈ ℝ)
3332exp32 357 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑧) = 0 → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℝ)))
3433rexlimdva 2489 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑧) = 0 → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℝ)))
354, 34mpd 13 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℝ))
3635reximdva 2475 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ))
3736rexlimiv 2483 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ)
381, 2, 37mp2b 8 1 𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329  ici 7331   + caddc 7332   · cmul 7334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637
This theorem is referenced by:  cnegex  7639
  Copyright terms: Public domain W3C validator