Theorem cnegexlem2 7561

Description: Existence of a real number which produces a real number when multiplied by i. (Hint: zero is such a number, although we don't need to prove that yet). Lemma for cnegex 7563. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem2	⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ

Proof of Theorem cnegexlem2

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7383	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnre 7387	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
3		ax-rnegex 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑧) = 0)
4	3	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑧) = 0)
5		recn 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
6		ax-icn 7343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
7		recn 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		mulcl 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	sylancr 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
10		recn 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
11		addid2 7524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (0 + 𝑧) = 𝑧)
12	11	3ad2ant3 962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0 + 𝑧) = 𝑧)
13	12	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (0 + 𝑧) = 𝑧)
14		oveq1 5598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 + 𝑧) = 0 → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
15	14	ad2antrl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + (i · 𝑦)))
16		add32 7544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧))
17	16	3com23 1145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧))
18		oveq1 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 + 𝑧) = ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧))
19	18	eqcomd 2088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) + 𝑧) = (0 + 𝑧))
20	17, 19	sylan9eq 2135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + 𝑧))
21	20	adantrl 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → ((𝑥 + 𝑧) + (i · 𝑦)) = (0 + 𝑧))
22		addid2 7524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
23	22	3ad2ant2 961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
24	23	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (0 + (i · 𝑦)) = (i · 𝑦))
25	15, 21, 24	3eqtr3d 2123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (0 + 𝑧) = (i · 𝑦))
26	13, 25	eqtr3d 2117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → 𝑧 = (i · 𝑦))
27	26	ex 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 = (i · 𝑦)))
28	5, 9, 10, 27	syl3an 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 = (i · 𝑦)))
29	28	3expa 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑧 = (i · 𝑦)))
30	29	imp 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → 𝑧 = (i · 𝑦))
31		simplr 497	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
32	30, 31	eqeltrrd 2160	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 + 𝑧) = 0 ∧ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))) → (i · 𝑦) ∈ ℝ)
33	32	exp32 357	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑧) = 0 → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℝ)))
34	33	rexlimdva 2483	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑧) = 0 → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℝ)))
35	4, 34	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℝ))
36	35	reximdva 2469	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ))
37	36	rexlimiv 2477	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ)
38	1, 2, 37	mp2b 8	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∃wrex 2354  (class class class)co 5591  ℂcc 7251  ℝcr 7252  0cc0 7253  ici 7255   + caddc 7256   · cmul 7258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-iota 4934  df-fv 4977  df-ov 5594

This theorem is referenced by:  cnegex  7563