Theorem reximdva 2635

Description: Deduction quantifying both antecedent and consequent, based on Theorem 19.22 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
reximdva.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
reximdva	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem reximdva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reximdva.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
2	1	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
3	2	reximdvai 2633	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-ral 2516  df-rex 2517

This theorem is referenced by:  reximddv  2636  reximddv2  2638  dffo4  5803  ctm  7351  ctssdclemn0  7352  ctssdccl  7353  ctssdc  7355  prarloclemarch  7681  appdivnq  7826  ltexprlemm  7863  ltexprlemopl  7864  ltexprlemopu  7866  ltexprlemloc  7870  archpr  7906  cauappcvgprlemm  7908  cauappcvgprlemopl  7909  cauappcvgprlemlol  7910  cauappcvgprlemopu  7911  cauappcvgprlemladdfu  7917  cauappcvgprlemladdfl  7918  archrecpr  7927  caucvgprlemm  7931  caucvgprlemopl  7932  caucvgprlemlol  7933  caucvgprlemopu  7934  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprlemlim  7944  caucvgprprlemml  7957  caucvgprprlemopl  7960  caucvgprprlemlol  7961  caucvgprprlemopu  7962  caucvgprprlemexbt  7969  caucvgprprlemlim  7974  suplocexprlemmu  7981  suplocexprlemru  7982  suplocexprlemlub  7987  archsr  8045  suplocsrlemb  8069  suplocsrlempr  8070  cnegexlem2  8398  bndndx  9444  elpq  9926  qbtwnxr  10561  expnbnd  10969  expnlbnd2  10971  caucvgre  11602  cvg1nlemres  11606  r19.29uz  11613  resqrexlemglsq  11643  resqrexlemga  11644  cau3lem  11735  qdenre  11823  2clim  11922  climcn1  11929  climcn2  11930  climsqz  11956  climsqz2  11957  climcau  11968  divcnv  12119  divalglemex  12544  dvdsbnd  12588  bezoutlemzz  12634  bezoutlemaz  12635  bezoutlembz  12636  bezoutlembi  12637  lcmgcdlem  12710  divgcdcoprmex  12735  exprmfct  12771  prmdvdsfz  12772  pclemub  12921  pc2dvds  12964  pcprmpw  12968  dvdsprmpweqle  12971  infpnlem2  12994  prmunb  12996  ennnfonelemhom  13097  ctinf  13112  sgrpidmndm  13564  grpinveu  13682  dfgrp3mlem  13742  ringadd2  14102  znunit  14735  cnpnei  15010  txlm  15070  metequiv2  15287  metrest  15297  mulc1cncf  15380  cncfco  15382  dedekindeulemlu  15412  suplociccreex  15415  dedekindicclemlu  15421  ivthinc  15434  cnplimcim  15458  cnplimclemr  15460  limccnpcntop  15466  limccoap  15469  elply2  15526  clwwlkn1loopb  16341  subctctexmid  16702