Theorem reximdva 2632

Description: Deduction quantifying both antecedent and consequent, based on Theorem 19.22 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
reximdva.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
reximdva	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem reximdva

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reximdva.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
2	1	ex 115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜓 → 𝜒)))
3	2	reximdvai 2630	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ial 1580

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-ral 2513  df-rex 2514

This theorem is referenced by:  reximddv  2633  reximddv2  2635  dffo4  5788  ctm  7292  ctssdclemn0  7293  ctssdccl  7294  ctssdc  7296  prarloclemarch  7621  appdivnq  7766  ltexprlemm  7803  ltexprlemopl  7804  ltexprlemopu  7806  ltexprlemloc  7810  archpr  7846  cauappcvgprlemm  7848  cauappcvgprlemopl  7849  cauappcvgprlemlol  7850  cauappcvgprlemopu  7851  cauappcvgprlemladdfu  7857  cauappcvgprlemladdfl  7858  archrecpr  7867  caucvgprlemm  7871  caucvgprlemopl  7872  caucvgprlemlol  7873  caucvgprlemopu  7874  caucvgprlemladdfu  7880  caucvgprlemlim  7884  caucvgprprlemml  7897  caucvgprprlemopl  7900  caucvgprprlemlol  7901  caucvgprprlemopu  7902  caucvgprprlemexbt  7909  caucvgprprlemlim  7914  suplocexprlemmu  7921  suplocexprlemru  7922  suplocexprlemlub  7927  archsr  7985  suplocsrlemb  8009  suplocsrlempr  8010  cnegexlem2  8338  bndndx  9384  elpq  9861  qbtwnxr  10494  expnbnd  10902  expnlbnd2  10904  caucvgre  11513  cvg1nlemres  11517  r19.29uz  11524  resqrexlemglsq  11554  resqrexlemga  11555  cau3lem  11646  qdenre  11734  2clim  11833  climcn1  11840  climcn2  11841  climsqz  11867  climsqz2  11868  climcau  11879  divcnv  12029  divalglemex  12454  dvdsbnd  12498  bezoutlemzz  12544  bezoutlemaz  12545  bezoutlembz  12546  bezoutlembi  12547  lcmgcdlem  12620  divgcdcoprmex  12645  exprmfct  12681  prmdvdsfz  12682  pclemub  12831  pc2dvds  12874  pcprmpw  12878  dvdsprmpweqle  12881  infpnlem2  12904  prmunb  12906  ennnfonelemhom  13007  ctinf  13022  sgrpidmndm  13474  grpinveu  13592  dfgrp3mlem  13652  ringadd2  14011  znunit  14644  cnpnei  14914  txlm  14974  metequiv2  15191  metrest  15201  mulc1cncf  15284  cncfco  15286  dedekindeulemlu  15316  suplociccreex  15319  dedekindicclemlu  15325  ivthinc  15338  cnplimcim  15362  cnplimclemr  15364  limccnpcntop  15370  limccoap  15373  elply2  15430  clwwlkn1loopb  16188  subctctexmid  16479