Theorem fzo0dvdseq 12543

Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2		elfzoelz 10481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 10480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zltnle 9623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		elfzonn0 10525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12		eldifsn 3820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14		dfn2 9509	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
15	13, 14	eleqtrrdi 2326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16		dvdsle 12530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	impancom 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 ≤ 𝐵))
19	7, 18	mtod 669	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
20		0z 9588	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zdceq 9653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → DECID 𝐵 = 0)
23		nnedc 2417	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝐵 = 0 → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
26	25	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0)
28	27	ex 115	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 = 0))
29		dvds0 12492	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
30	3, 29	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
31		breq2 4113	. . 3 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	28, 32	impbid 129	1 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   ∖ cdif 3208  {csn 3689   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  0cc0 8127   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ..^cfzo 10476   ∥ cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  fzocongeq  12544