ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq GIF version

Theorem fzo0dvdseq 10940
Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 9532 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2 elfzoelz 9523 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 elfzoel2 9522 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zltnle 8766 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
52, 3, 4syl2anc 403 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
61, 5mpbid 145 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
76adantr 270 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
83adantr 270 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 elfzonn0 9562 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
109adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12 eldifsn 3562 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ≠ 0))
1310, 11, 12sylanbrc 408 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14 dfn2 8656 . . . . . . . 8 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
1513, 14syl6eleqr 2181 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16 dvdsle 10927 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
178, 15, 16syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1817impancom 256 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴𝐵))
197, 18mtod 624 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
20 0z 8731 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
21 zdceq 8792 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
2220, 21mpan2 416 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → DECID 𝐵 = 0)
23 nnedc 2260 . . . . . . 7 (DECID 𝐵 = 0 → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
2422, 23syl 14 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
252, 24syl 14 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
2625adantr 270 . . . 4 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
2719, 26mpbid 145 . . 3 ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 = 0)
2827ex 113 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
29 dvds0 10893 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
303, 29syl 14 . . 3 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
31 breq2 3841 . . 3 (𝐵 = 0 → (𝐴𝐵𝐴 ∥ 0))
3230, 31syl5ibrcom 155 . 2 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴𝐵))
3328, 32impbid 127 1 (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴𝐵𝐵 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  cdif 2994  {csn 3441   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  0cc0 7329   < clt 7501  cle 7502  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  ..^cfzo 9518  cdvds 10878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-dvds 10879
This theorem is referenced by:  fzocongeq  10941
  Copyright terms: Public domain W3C validator