Theorem fzo0dvdseq 12039

Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2		elfzoelz 10239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 10238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zltnle 9389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		elfzonn0 10279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12		eldifsn 3750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14		dfn2 9279	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
15	13, 14	eleqtrrdi 2290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16		dvdsle 12026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	impancom 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 ≤ 𝐵))
19	7, 18	mtod 664	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
20		0z 9354	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zdceq 9418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → DECID 𝐵 = 0)
23		nnedc 2372	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝐵 = 0 → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
26	25	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0)
28	27	ex 115	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 = 0))
29		dvds0 11988	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
30	3, 29	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
31		breq2 4038	. . 3 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	28, 32	impbid 129	1 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154  {csn 3623   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  0cc0 7896   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ..^cfzo 10234   ∥ cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  fzocongeq  12040