Theorem fzo0dvdseq 12087

Description: Zero is the only one of the first 𝐴 nonnegative integers that is divisible by 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0dvdseq	⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

Proof of Theorem fzo0dvdseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 10261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
2		elfzoelz 10251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		elfzoel2 10250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zltnle 9400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
8	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		elfzonn0 10291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
12		eldifsn 3759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
14		dfn2 9290	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
15	13, 14	eleqtrrdi 2298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
16		dvdsle 12074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
17	8, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	impancom 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (𝐵 ≠ 0 → 𝐴 ≤ 𝐵))
19	7, 18	mtod 664	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≠ 0)
20		0z 9365	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
21		zdceq 9430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 = 0)
22	20, 21	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → DECID 𝐵 = 0)
23		nnedc 2380	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝐵 = 0 → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
26	25	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → (¬ 𝐵 ≠ 0 ↔ 𝐵 = 0))
27	19, 26	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (0..^𝐴) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0)
28	27	ex 115	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐵 = 0))
29		dvds0 12036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
30	3, 29	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → 𝐴 ∥ 0)
31		breq2 4047	. . 3 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
32	30, 31	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐵 = 0 → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	28, 32	impbid 129	1 ⊢ (𝐵 ∈ (0..^𝐴) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375   ∖ cdif 3162  {csn 3632   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  0cc0 7907   < clt 8089   ≤ cle 8090  ℕcn 9018  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354  ..^cfzo 10246   ∥ cdvds 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-dvds 12018

This theorem is referenced by:  fzocongeq  12088