Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashdifpr GIF version

Theorem hashdifpr 10627
 Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashdifpr ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Proof of Theorem hashdifpr
StepHypRef Expression
1 difpr 3672 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})
21a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶}))
32fveq2d 5437 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})))
4 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐴 ∈ Fin)
5 snfig 6720 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → {𝐵} ∈ Fin)
653ad2ant1 1003 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶) → {𝐵} ∈ Fin)
76adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → {𝐵} ∈ Fin)
8 snssi 3674 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
983ad2ant1 1003 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
109adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
11 diffifi 6800 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
124, 7, 10, 11syl3anc 1217 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
13 simpr2 989 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐶𝐴)
14 simpr3 990 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐵𝐶)
1514necomd 2396 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐶𝐵)
16 eldifsn 3660 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶𝐴𝐶𝐵))
1713, 15, 16sylanbrc 414 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
18 hashdifsn 10626 . . 3 (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
1912, 17, 18syl2anc 409 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
20 hashdifsn 10626 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
21203ad2antr1 1147 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
2221oveq1d 5801 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
23 hashcl 10588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 9085 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
25 sub1m1 9023 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2624, 25syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2726adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2822, 27eqtrd 2174 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
293, 19, 283eqtrd 2178 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2310   ∖ cdif 3075   ⊆ wss 3078  {csn 3534  {cpr 3535  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  Fincfn 6646  ℂcc 7671  1c1 7674   − cmin 7986  2c2 8824  ♯chash 10582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-addcom 7773  ax-addass 7775  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-irdg 6279  df-frec 6300  df-1o 6325  df-oadd 6329  df-er 6441  df-en 6647  df-dom 6648  df-fin 6649  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-inn 8774  df-2 8832  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-fz 9851  df-ihash 10583 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator