Theorem hashdifpr 10813

Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifpr	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Proof of Theorem hashdifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difpr 3746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶}))
3	2	fveq2d 5531	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})))
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐴 ∈ Fin)
5		snfig 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ∈ Fin)
6	5	3ad2ant1 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐵} ∈ Fin)
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → {𝐵} ∈ Fin)
8		snssi 3748	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
11		diffifi 6907	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
13		simpr2 1005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
14		simpr3 1006	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
15	14	necomd 2443	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
16		eldifsn 3731	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
17	13, 15, 16	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
18		hashdifsn 10812	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
19	12, 17, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
20		hashdifsn 10812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
21	20	3ad2antr1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
22	21	oveq1d 5903	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
23		hashcl 10774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 9244	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
25		sub1m1 9182	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
28	22, 27	eqtrd 2220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
29	3, 19, 28	3eqtrd 2224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ≠ wne 2357   ∖ cdif 3138   ⊆ wss 3141  {csn 3604  {cpr 3605  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Fincfn 6753  ℂcc 7822  1c1 7825   − cmin 8141  2c2 8983  ♯chash 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-ihash 10769

This theorem is referenced by: (None)