Theorem hashdifpr 10982

Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifpr	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Proof of Theorem hashdifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difpr 3780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶}))
3	2	fveq2d 5592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})))
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐴 ∈ Fin)
5		snfig 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ∈ Fin)
6	5	3ad2ant1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐵} ∈ Fin)
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → {𝐵} ∈ Fin)
8		snssi 3782	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
10	9	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
11		diffifi 7005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
13		simpr2 1007	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
14		simpr3 1008	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
15	14	necomd 2463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐶 ≠ 𝐵)
16		eldifsn 3765	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
17	13, 15, 16	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
18		hashdifsn 10981	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
19	12, 17, 18	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
20		hashdifsn 10981	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
21	20	3ad2antr1 1165	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
22	21	oveq1d 5971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
23		hashcl 10943	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 9365	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
25		sub1m1 9303	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
26	24, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
28	22, 27	eqtrd 2239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
29	3, 19, 28	3eqtrd 2243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ∖ cdif 3167   ⊆ wss 3170  {csn 3637  {cpr 3638  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  Fincfn 6839  ℂcc 7938  1c1 7941   − cmin 8258  2c2 9102  ♯chash 10937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-frec 6489  df-1o 6514  df-oadd 6518  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-ihash 10938

This theorem is referenced by: (None)