Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tanvalap GIF version

Theorem tanvalap 11415
 Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
tanvalap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem tanvalap
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 coscl 11414 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
32adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
4 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
5 0cnd 7759 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 0 ∈ ℂ)
6 apne 8385 . . . . . 6 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) # 0 → (cos‘𝐴) ≠ 0))
73, 5, 6syl2anc 408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((cos‘𝐴) # 0 → (cos‘𝐴) ≠ 0))
84, 7mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
9 eldifsn 3650 . . . 4 ((cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
103, 8, 9sylanbrc 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11 cosf 11412 . . . 4 cos:ℂ⟶ℂ
12 ffn 5272 . . . 4 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
13 elpreima 5539 . . . 4 (cos Fn ℂ → (𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
1411, 12, 13mp2b 8 . . 3 (𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})))
151, 10, 14sylanbrc 413 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})))
16 sincl 11413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
1716adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
1817, 3, 4divclapd 8550 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
19 fveq2 5421 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝐴))
20 fveq2 5421 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (cos‘𝑥) = (cos‘𝐴))
2119, 20oveq12d 5792 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
22 df-tan 11358 . . 3 tan = (𝑥 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
2321, 22fvmptg 5497 . 2 ((𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2415, 18, 23syl2anc 408 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   ∖ cdif 3068  {csn 3527   class class class wbr 3929  ◡ccnv 4538   “ cima 4542   Fn wfn 5118  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620   # cap 8343   / cdiv 8432  sincsin 11350  cosccos 11351  tanctan 11352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357  df-tan 11358 This theorem is referenced by:  tanclap  11416  tanval2ap  11420  retanclap  11429  tannegap  11435  tan0  11438  tanaddaplem  11445  tanaddap  11446  tanrpcl  12918  tangtx  12919  tan4thpi  12922
 Copyright terms: Public domain W3C validator