Theorem tanvalap 12332

Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanvalap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem tanvalap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		coscl 12331	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
5		0cnd 8215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 0 ∈ ℂ)
6		apne 8845	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) # 0 → (cos‘𝐴) ≠ 0))
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((cos‘𝐴) # 0 → (cos‘𝐴) ≠ 0))
8	4, 7	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
9		eldifsn 3804	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
10	3, 8, 9	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11		cosf 12329	. . . 4 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
12		ffn 5489	. . . 4 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
13		elpreima 5775	. . . 4 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})))
15	1, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
16		sincl 12330	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
18	17, 3, 4	divclapd 9012	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
19		fveq2 5648	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝐴))
20		fveq2 5648	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (cos‘𝑥) = (cos‘𝐴))
21	19, 20	oveq12d 6046	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
22		df-tan 12276	. . 3 ⊢ tan = (𝑥 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
23	21, 22	fvmptg 5731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
24	15, 18, 23	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   ∖ cdif 3198  {csn 3673   class class class wbr 4093  ^◡ccnv 4730   “ cima 4734   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  0cc0 8075   # cap 8803   / cdiv 8894  sincsin 12268  cosccos 12269  tanctan 12270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-ico 10173  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-sin 12274  df-cos 12275  df-tan 12276

This theorem is referenced by:  tanclap  12333  tanval2ap  12337  retanclap  12346  tannegap  12352  tan0  12355  tanaddaplem  12362  tanaddap  12363  tanrpcl  15631  tangtx  15632  tan4thpi  15635