ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tanvalap GIF version

Theorem tanvalap 11342
Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
tanvalap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem tanvalap
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 coscl 11341 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
32adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
4 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) # 0)
5 0cnd 7727 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 0 ∈ ℂ)
6 apne 8353 . . . . . 6 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) # 0 → (cos‘𝐴) ≠ 0))
73, 5, 6syl2anc 408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((cos‘𝐴) # 0 → (cos‘𝐴) ≠ 0))
84, 7mpd 13 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
9 eldifsn 3620 . . . 4 ((cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
103, 8, 9sylanbrc 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
11 cosf 11339 . . . 4 cos:ℂ⟶ℂ
12 ffn 5242 . . . 4 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
13 elpreima 5507 . . . 4 (cos Fn ℂ → (𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
1411, 12, 13mp2b 8 . . 3 (𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})))
151, 10, 14sylanbrc 413 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → 𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})))
16 sincl 11340 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
1716adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
1817, 3, 4divclapd 8518 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
19 fveq2 5389 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝐴))
20 fveq2 5389 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (cos‘𝑥) = (cos‘𝐴))
2119, 20oveq12d 5760 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
22 df-tan 11285 . . 3 tan = (𝑥 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
2321, 22fvmptg 5465 . 2 ((𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ∧ ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ ℂ) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2415, 18, 23syl2anc 408 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) # 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  cdif 3038  {csn 3497   class class class wbr 3899  ccnv 4508  cima 4512   Fn wfn 5088  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588   # cap 8311   / cdiv 8400  sincsin 11277  cosccos 11278  tanctan 11279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-ico 9645  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-fac 10440  df-ihash 10490  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016  df-sumdc 11091  df-ef 11281  df-sin 11283  df-cos 11284  df-tan 11285
This theorem is referenced by:  tanclap  11343  tanval2ap  11347  retanclap  11356  tannegap  11362  tan0  11365  tanaddaplem  11372  tanaddap  11373  tanrpcl  12845  tangtx  12846  tan4thpi  12849
  Copyright terms: Public domain W3C validator