Theorem supinfneg 9660

Description: If a set of real numbers has a least upper bound, the set of the negation of those numbers has a greatest lower bound. For a theorem which is similar but only for the boundedness part, see ublbneg 9678. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supinfneg.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
supinfneg.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supinfneg	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧,𝑤,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem supinfneg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supinfneg.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
3	2	notbid 668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (¬ 𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
4	3	ralbidv 2494	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
5		breq2 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑎 ↔ 𝑦 < 𝑥))
6	5	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
7	6	ralbidv 2494	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8	4, 7	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))))
9	8	cbvrexv 2727	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10	1, 9	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
11		breq2 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑦))
12	11	notbid 668	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑦))
13	12	cbvralv 2726	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑦)
14		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑏 < 𝑐 ↔ 𝑏 < 𝑧))
15	14	cbvrexv 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑧)
16	15	imbi2i 226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑧))
17	16	ralbii 2500	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑧))
18		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑦 < 𝑎))
19		breq1 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑧))
20	19	rexbidv 2495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
21	18, 20	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑧) ↔ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
22	21	cbvralv 2726	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
23	17, 22	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
24	13, 23	anbi12i 460	. . . 4 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
25	24	rexbii 2501	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑎 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
26	10, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)))
27		renegcl 8280	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → -𝑎 ∈ ℝ)
28	27	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))) → -𝑎 ∈ ℝ)
29		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))) → 𝑎 ∈ ℝ)
30		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏)
31		elrabi 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} → 𝑦 ∈ ℝ)
32		negeq 8212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -𝑤 = -𝑦)
33	32	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ -𝑦 ∈ 𝐴))
34	33	elrab3 2917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ -𝑦 ∈ 𝐴))
35	34	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} → -𝑦 ∈ 𝐴))
36	31, 35	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} → -𝑦 ∈ 𝐴)
37		breq2 4033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = -𝑦 → (𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 < -𝑦))
38	37	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = -𝑦 → (¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 < -𝑦))
39	38	rspcv 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 → ¬ 𝑎 < -𝑦))
40	36, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 → ¬ 𝑎 < -𝑦))
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 → ¬ 𝑎 < -𝑦))
42		ltnegcon2 8483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑦 < -𝑎 ↔ 𝑎 < -𝑦))
43	42	notbid 668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < -𝑦))
44	31, 43	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < -𝑦))
45	41, 44	sylibrd 169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 → ¬ 𝑦 < -𝑎))
46	45	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 → ¬ 𝑦 < -𝑎))
47	46	ralrimdva 2574	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 → ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < -𝑎))
48	29, 30, 47	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))) → ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < -𝑎)
49		nfv 1539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑐(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
50		nfcv 2336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑐ℝ
51		nfv 1539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑐 𝑏 < 𝑎
52		nfre1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑐∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐
53	51, 52	nfim 1583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑐(𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)
54	50, 53	nfralya 2534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑐∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)
55	49, 54	nfan 1576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑐((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))
56		nfv 1539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑐 𝑦 ∈ ℝ
57	55, 56	nfan 1576	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑐(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
58		nfv 1539	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑐-𝑎 < 𝑦
59	57, 58	nfan 1576	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑐((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦)
60		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → 𝑐 ∈ 𝐴)
61		supinfneg.ss	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
62	61	sseld 3178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ ℝ))
63	62	ad6antr 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → (𝑐 ∈ 𝐴 → 𝑐 ∈ ℝ))
64	60, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℝ)
65	64	renegcld 8399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → -𝑐 ∈ ℝ)
66	64	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
67	66	negnegd 8321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → --𝑐 = 𝑐)
68	67, 60	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → --𝑐 ∈ 𝐴)
69		negeq 8212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑐 → -𝑤 = --𝑐)
70	69	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑐 → (-𝑤 ∈ 𝐴 ↔ --𝑐 ∈ 𝐴))
71	70	elrab 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑐 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ↔ (-𝑐 ∈ ℝ ∧ --𝑐 ∈ 𝐴))
72	65, 68, 71	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → -𝑐 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴})
73		simp-4r 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → 𝑦 ∈ ℝ)
74		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → -𝑦 < 𝑐)
75	73, 64, 74	ltnegcon1d 8544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → -𝑐 < 𝑦)
76		breq1 4032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = -𝑐 → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑐 < 𝑦))
77	76	rspcev 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑐 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ∧ -𝑐 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)
78	72, 75, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ -𝑦 < 𝑐) → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)
79		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
80		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
81		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))
82	79, 80, 81	jca31 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)))
83		ltnegcon1 8482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑎 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑎))
84	83	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) → (-𝑎 < 𝑦 ↔ -𝑦 < 𝑎))
85		renegcl 8280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
86		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = -𝑦 → (𝑏 < 𝑎 ↔ -𝑦 < 𝑎))
87		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = -𝑦 → (𝑏 < 𝑐 ↔ -𝑦 < 𝑐))
88	87	rexbidv 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = -𝑦 → (∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐))
89	86, 88	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = -𝑦 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐) ↔ (-𝑦 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐)))
90	89	rspcv 2860	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐) → (-𝑦 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐)))
91	85, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐) → (-𝑦 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐)))
92	91	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐) → (-𝑦 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐)))
93	92	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) → (-𝑦 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐))
94	84, 93	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) → (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐))
95	94	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ -𝑎 < 𝑦) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐)
96	82, 95	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 -𝑦 < 𝑐)
97	59, 78, 96	r19.29af 2635	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -𝑎 < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)
98	97	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
99	98	ralrimiva 2567	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) → ∀𝑦 ∈ ℝ (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
100	99	adantrl 478	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))) → ∀𝑦 ∈ ℝ (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))
101		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < -𝑎))
102	101	notbid 668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -𝑎))
103	102	ralbidv 2494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < -𝑎))
104		breq1 4032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 < 𝑦 ↔ -𝑎 < 𝑦))
105	104	imbi1d 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦) ↔ (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
106	105	ralbidv 2494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
107	103, 106	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -𝑎 → ((∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < -𝑎 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
108	107	rspcev 2864	. . . . 5 ⊢ ((-𝑎 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < -𝑎 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-𝑎 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
109	28, 48, 100, 108	syl12anc 1247	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))
110	109	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
111	110	rexlimdva 2611	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑐 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑐)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦))))
112	26, 111	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ 𝐴}𝑧 < 𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  {crab 2476   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   < clt 8054  -cneg 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193

This theorem is referenced by:  supminfex  9662  infssuzex  12086