cauappcvgprlemladdru - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemladdru 7159

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7161. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemladdru	⊢ (𝜑 → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞 𝑆,𝑙,𝑞,𝑢 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝑆(𝑝) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3824	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
2	1	rexbidv 2377	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
3		nqex 6866	. . . . . 6 ⊢ Q ∈ V
4	3	rabex 3958	. . . . 5 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} ∈ V
5	3	rabex 3958	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
6	4, 5	op2nd 5875	. . . 4 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}
7	2, 6	elrab2 2765	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
8		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
9		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
10		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
11		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
12		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
13	8, 9, 10, 11, 12	cauappcvgprlemladdfl 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
14		oveq2 5621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑙 +_Q 𝑣))
15		fveq2 5268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑣))
16	15	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) = ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
17	14, 16	breq12d 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
18	17	cbvrexv 2587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
20	19	rabbiia 2600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}
21		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → 𝑞 = 𝑣)
22	15, 21	oveq12d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣))
23	22	oveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆))
24	23	breq1d 3830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢))
25	24	cbvrexv 2587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢)
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢))
27	26	rabbiia 2600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}
28	20, 27	opeq12i 3610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩
29	28	fveq2i 5271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩)
30	13, 29	syl6sseq 3061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
31	30	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
32	8	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
33		simplr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
34	32, 33	ffvelrnd 5398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
35		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑣 ∈ Q)
36		addassnqg 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
37	34, 33, 35, 36	syl3anc 1172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
38		addclnq 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
39	34, 33, 38	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
40		addclnq 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) ∈ Q)
41	39, 40	sylancom 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) ∈ Q)
42	37, 41	eqeltrrd 2162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q)
43	32, 35	ffvelrnd 5398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) ∈ Q)
44		ltsonq 6901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <_Q Or Q
45		so2nr 4122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
46	44, 45	mpan 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
47	42, 43, 46	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
48	12	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
49		addcomnqg 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
50	49	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
51		addassnqg 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
52	51	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
53	39, 48, 35, 50, 52	caov32d 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) = ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆))
54	53	breq1d 3830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
55		ltanqg 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
56	55	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
57	56, 41, 43, 48, 50	caovord2d 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) <_Q (𝐹‘𝑣) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
58	37	breq1d 3830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) <_Q (𝐹‘𝑣) ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
59	54, 57, 58	3bitr2d 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
60	59	biimpd 142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
61	9	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
62		fveq2 5268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑣))
63		oveq1 5620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (𝑝 +_Q 𝑞) = (𝑣 +_Q 𝑞))
64	63	oveq2d 5629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
65	62, 64	breq12d 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
66	62, 63	oveq12d 5631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
67	66	breq2d 3832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
68	65, 67	anbi12d 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
69	68	ralbidv 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
70	69	rspcv 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
71	70	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
72	61, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
73		rsp 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))) → (𝑞 ∈ Q → ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
74	72, 33, 73	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
75	74	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
76		addcomnqg 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑣 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑣))
77	35, 33, 76	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑣 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑣))
78	77	oveq2d 5629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
79	75, 78	breqtrd 3844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
80	60, 79	jctird 310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) → (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))))
81	47, 80	mtod 622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ¬ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
82	81	nrexdv 2462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
83	8	ffvelrnda 5397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
84	83, 38	sylancom 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
85	12	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
86		addclnq 6878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q)
87	84, 85, 86	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q)
88		oveq1 5620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → (𝑙 +_Q 𝑣) = ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣))
89	88	breq1d 3830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → ((𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
90	89	rexbidv 2377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → (∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
91	90	elrab3 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
92	87, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
93	82, 92	mtbird 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)})
94	3	rabex 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ∈ V
95	3	rabex 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
96	94, 95	op1st 5874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}
97	96	eleq2i 2151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)})
98	93, 97	sylnibr 635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
99	31, 98	ssneldd 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
100	99	adantlr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
101	100	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
102	8, 9, 10, 11	cauappcvgprlemcl 7156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
103		nqprlu 7050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
104	12, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
105		addclpr 7040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
106	102, 104, 105	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
107		prop 6978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
109		prloc 6994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
110	108, 109	sylan 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
111	110	adantlr 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
112	111	adantlr 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
113	112	orcomd 681	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
114	101, 113	ecased 1283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
115	114	ex 113	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
116	115	rexlimdva 2485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
117	116	expimpd 355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
118	7, 117	syl5bi 150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
119	118	ssrdv 3020	1 ⊢ (𝜑 → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 102 ↔ wb 103 ∨ wo 662 ∧ w3a 922 = wceq 1287 ∈ wcel 1436 {cab 2071 ∀wral 2355 ∃wrex 2356 {crab 2359 ⊆ wss 2988 ⟨cop 3434 class class class wbr 3820 Or wor 4096 ⟶wf 4977 ‘cfv 4981 (class class class)co 5613 1^st c1st 5866 2^nd c2nd 5867 Qcnq 6783 +_Q cplq 6785 <_Q cltq 6788 Pcnp 6794 +_P cpp 6796

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1379 ax-7 1380 ax-gen 1381 ax-ie1 1425 ax-ie2 1426 ax-8 1438 ax-10 1439 ax-11 1440 ax-i12 1441 ax-bndl 1442 ax-4 1443 ax-13 1447 ax-14 1448 ax-17 1462 ax-i9 1466 ax-ial 1470 ax-i5r 1471 ax-ext 2067 ax-coll 3929 ax-sep 3932 ax-nul 3940 ax-pow 3984 ax-pr 4010 ax-un 4234 ax-setind 4326 ax-iinf 4376

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 779 df-3or 923 df-3an 924 df-tru 1290 df-fal 1293 df-nf 1393 df-sb 1690 df-eu 1948 df-mo 1949 df-clab 2072 df-cleq 2078 df-clel 2081 df-nfc 2214 df-ne 2252 df-ral 2360 df-rex 2361 df-reu 2362 df-rab 2364 df-v 2617 df-sbc 2830 df-csb 2923 df-dif 2990 df-un 2992 df-in 2994 df-ss 3001 df-nul 3276 df-pw 3417 df-sn 3437 df-pr 3438 df-op 3440 df-uni 3637 df-int 3672 df-iun 3715 df-br 3821 df-opab 3875 df-mpt 3876 df-tr 3912 df-eprel 4090 df-id 4094 df-po 4097 df-iso 4098 df-iord 4167 df-on 4169 df-suc 4172 df-iom 4379 df-xp 4417 df-rel 4418 df-cnv 4419 df-co 4420 df-dm 4421 df-rn 4422 df-res 4423 df-ima 4424 df-iota 4946 df-fun 4983 df-fn 4984 df-f 4985 df-f1 4986 df-fo 4987 df-f1o 4988 df-fv 4989 df-ov 5616 df-oprab 5617 df-mpt2 5618 df-1st 5868 df-2nd 5869 df-recs 6024 df-irdg 6089 df-1o 6135 df-2o 6136 df-oadd 6139 df-omul 6140 df-er 6244 df-ec 6246 df-qs 6250 df-ni 6807 df-pli 6808 df-mi 6809 df-lti 6810 df-plpq 6847 df-mpq 6848 df-enq 6850 df-nqqs 6851 df-plqqs 6852 df-mqqs 6853 df-1nqqs 6854 df-rq 6855 df-ltnqqs 6856 df-enq0 6927 df-nq0 6928 df-0nq0 6929 df-plq0 6930 df-mq0 6931 df-inp 6969 df-iplp 6971

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemladd 7161

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