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Theorem cauappcvgprlemladdru 7159
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7161. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s (𝜑𝑆Q)
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3824 . . . . 5 (𝑢 = 𝑟 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
21rexbidv 2377 . . . 4 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
3 nqex 6866 . . . . . 6 Q ∈ V
43rabex 3958 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} ∈ V
53rabex 3958 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
64, 5op2nd 5875 . . . 4 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
72, 6elrab2 2765 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:QQ)
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆Q)
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
14 oveq2 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q 𝑣))
15 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑣))
1615oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1714, 16breq12d 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
1817cbvrexv 2587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙Q → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
2019rabbiia 2600 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑣𝑞 = 𝑣)
2215, 21oveq12d 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑣))
2322oveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
2423breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2524cbvrexv 2587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢)
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢Q → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2726rabbiia 2600 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} = {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
2820, 27opeq12i 3610 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩
2928fveq2i 5271 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)
3013, 29syl6sseq 3061 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
3130adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
328ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝐹:QQ)
33 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑞Q)
3432, 33ffvelrnd 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
35 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑣Q)
36 addassnqg 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
3734, 33, 35, 36syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
38 addclnq 6878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
3934, 33, 38syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
40 addclnq 6878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4139, 40sylancom 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4237, 41eqeltrrd 2162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q)
4332, 35ffvelrnd 5398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) ∈ Q)
44 ltsonq 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
45 so2nr 4122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( <Q Or Q ∧ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4644, 45mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4742, 43, 46syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4812ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑆Q)
49 addcomnqg 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
5049adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
51 addassnqg 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔QQ) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5251adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
5453breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
55 ltanqg 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5655adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
5837breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
5954, 57, 583bitr2d 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
6059biimpd 142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
619ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
62 fveq2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑣))
63 oveq1 5620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑣 → (𝑝 +Q 𝑞) = (𝑣 +Q 𝑞))
6463oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6562, 64breq12d 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6662, 63oveq12d 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6766breq2d 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6865, 67anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑣 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
6968ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑣 → (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7069rspcv 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7170adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
73 rsp 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))) → (𝑞Q → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7472, 33, 73sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
7574simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
76 addcomnqg 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑞Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7735, 33, 76syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7877oveq2d 5629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
7975, 78breqtrd 3844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
8060, 79jctird 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))))
8147, 80mtod 622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
8281nrexdv 2462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ¬ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
838ffvelrnda 5397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
8483, 38sylancom 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
8512adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → 𝑆Q)
86 addclnq 6878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑆Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
8784, 85, 86syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
88 oveq1 5620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (𝑙 +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣))
8988breq1d 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → ((𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9089rexbidv 2377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9190elrab3 2763 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9382, 92mtbird 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
943rabex 3958 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ∈ V
953rabex 3958 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
9694, 95op1st 5874 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
9796eleq2i 2151 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
9893, 97sylnibr 635 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
9931, 98ssneldd 3017 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
10099adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
101100adantr 270 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿P)
103 nqprlu 7050 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
105 addclpr 7040 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
106102, 104, 105syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
107 prop 6978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
109 prloc 6994 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
110108, 109sylan 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
111110adantlr 461 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
112111adantlr 461 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
113112orcomd 681 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → (𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
114101, 113ecased 1283 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
115114ex 113 . . . . 5 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
116115rexlimdva 2485 . . . 4 ((𝜑𝑟Q) → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
117116expimpd 355 . . 3 (𝜑 → ((𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
1187, 117syl5bi 150 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
119118ssrdv 3020 1 (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  {cab 2071  wral 2355  wrex 2356  {crab 2359  wss 2988  cop 3434   class class class wbr 3820   Or wor 4096  wf 4977  cfv 4981  (class class class)co 5613  1st c1st 5866  2nd c2nd 5867  Qcnq 6783   +Q cplq 6785   <Q cltq 6788  Pcnp 6794   +P cpp 6796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-eprel 4090  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-irdg 6089  df-1o 6135  df-2o 6136  df-oadd 6139  df-omul 6140  df-er 6244  df-ec 6246  df-qs 6250  df-ni 6807  df-pli 6808  df-mi 6809  df-lti 6810  df-plpq 6847  df-mpq 6848  df-enq 6850  df-nqqs 6851  df-plqqs 6852  df-mqqs 6853  df-1nqqs 6854  df-rq 6855  df-ltnqqs 6856  df-enq0 6927  df-nq0 6928  df-0nq0 6929  df-plq0 6930  df-mq0 6931  df-inp 6969  df-iplp 6971
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7161
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