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Theorem cauappcvgprlemladdru 7432
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7434. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s (𝜑𝑆Q)
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3903 . . . . 5 (𝑢 = 𝑟 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
21rexbidv 2415 . . . 4 (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
3 nqex 7139 . . . . . 6 Q ∈ V
43rabex 4042 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} ∈ V
53rabex 4042 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
64, 5op2nd 6013 . . . 4 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
72, 6elrab2 2816 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟))
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:QQ)
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆Q)
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
14 oveq2 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q 𝑣))
15 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑣))
1615oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1714, 16breq12d 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
1817cbvrexv 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙Q → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
2019rabbiia 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑣𝑞 = 𝑣)
2215, 21oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑣) +Q 𝑣))
2322oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑣 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
2423breq1d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑣 → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2524cbvrexv 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢)
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢Q → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢))
2726rabbiia 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} = {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}
2820, 27opeq12i 3680 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩
2928fveq2i 5392 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)
3013, 29sseqtrdi 3115 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
3130adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
328ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝐹:QQ)
33 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑞Q)
3432, 33ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑣Q)
36 addassnqg 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
3734, 33, 35, 36syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
38 addclnq 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑞) ∈ Q𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
3934, 33, 38syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
40 addclnq 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4139, 40sylancom 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) ∈ Q)
4237, 41eqeltrrd 2195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q)
4332, 35ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) ∈ Q)
44 ltsonq 7174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <Q Or Q
45 so2nr 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( <Q Or Q ∧ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4644, 45mpan 420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑣) ∈ Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4742, 43, 46syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣))))
4812ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → 𝑆Q)
49 addcomnqg 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
5049adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
51 addassnqg 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓Q𝑔QQ) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5251adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q )))
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆))
5453breq1d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
55 ltanqg 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5655adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
5837breq1d 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑣) <Q (𝐹𝑣) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
5954, 57, 583bitr2d 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
6059biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣)))
619ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
62 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑣))
63 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑣 → (𝑝 +Q 𝑞) = (𝑣 +Q 𝑞))
6463oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6562, 64breq12d 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6662, 63oveq12d 5760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
6766breq2d 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
6865, 67anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑣 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
6968ralbidv 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑣 → (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7069rspcv 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣Q → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
73 rsp 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑞Q ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))) → (𝑞Q → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))))
7472, 33, 73sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑣) +Q (𝑣 +Q 𝑞))))
7574simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)))
76 addcomnqg 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣Q𝑞Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7735, 33, 76syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝑣 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑣))
7877oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ((𝐹𝑞) +Q (𝑣 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
7975, 78breqtrd 3924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))
8060, 79jctird 315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → (((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)) <Q (𝐹𝑣) ∧ (𝐹𝑣) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑞 +Q 𝑣)))))
8147, 80mtod 637 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞Q) ∧ 𝑣Q) → ¬ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
8281nrexdv 2502 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ¬ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆))
838ffvelrnda 5523 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
8483, 38sylancom 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q)
8512adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞Q) → 𝑆Q)
86 addclnq 7151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) ∈ Q𝑆Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
8784, 85, 86syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞Q) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q)
88 oveq1 5749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (𝑙 +Q 𝑣) = ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣))
8988breq1d 3909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → ((𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9089rexbidv 2415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) → (∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9190elrab3 2814 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣Q ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)))
9382, 92mtbird 647 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
943rabex 4042 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)} ∈ V
953rabex 4042 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
9694, 95op1st 6012 . . . . . . . . . . . 12 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}
9796eleq2i 2184 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ {𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)})
9893, 97sylnibr 651 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑣Q (𝑙 +Q 𝑣) <Q ((𝐹𝑣) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑣Q (((𝐹𝑣) +Q 𝑣) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
9931, 98ssneldd 3070 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
10099adantlr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
101100adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿P)
103 nqprlu 7323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
105 addclpr 7313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
106102, 104, 105syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
107 prop 7251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
109 prloc 7267 . . . . . . . . . . 11 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
110108, 109sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
111110adantlr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
112111adantlr 468 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
113112orcomd 703 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → (𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∨ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
114101, 113ecased 1312 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
115114ex 114 . . . . 5 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ((((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
116115rexlimdva 2526 . . . 4 ((𝜑𝑟Q) → (∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
117116expimpd 360 . . 3 (𝜑 → ((𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
1187, 117syl5bi 151 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
119118ssrdv 3073 1 (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  {cab 2103  wral 2393  wrex 2394  {crab 2397  wss 3041  cop 3500   class class class wbr 3899   Or wor 4187  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  1st c1st 6004  2nd c2nd 6005  Qcnq 7056   +Q cplq 7058   <Q cltq 7061  Pcnp 7067   +P cpp 7069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242  df-iplp 7244
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7434
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