cauappcvgprlemladdru - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemladdru 7118

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7120. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemladdru	⊢ (𝜑 → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞 𝑆,𝑙,𝑞,𝑢 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝑆(𝑝) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3815	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
2	1	rexbidv 2375	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
3		nqex 6825	. . . . . 6 ⊢ Q ∈ V
4	3	rabex 3948	. . . . 5 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} ∈ V
5	3	rabex 3948	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
6	4, 5	op2nd 5853	. . . 4 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}
7	2, 6	elrab2 2762	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟))
8		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
9		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
10		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
11		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
12		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
13	8, 9, 10, 11, 12	cauappcvgprlemladdfl 7117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
14		oveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑙 +_Q 𝑣))
15		fveq2 5253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑣))
16	15	oveq1d 5606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) = ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
17	14, 16	breq12d 3824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
18	17	cbvrexv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
20	19	rabbiia 2597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}
21		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → 𝑞 = 𝑣)
22	15, 21	oveq12d 5609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣))
23	22	oveq1d 5606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆))
24	23	breq1d 3821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑣 → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢))
25	24	cbvrexv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢)
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢))
27	26	rabbiia 2597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}
28	20, 27	opeq12i 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩
29	28	fveq2i 5256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩)
30	13, 29	syl6sseq 3056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
31	30	adantr 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
32	8	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
33		simplr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
34	32, 33	ffvelrnd 5380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
35		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑣 ∈ Q)
36		addassnqg 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
37	34, 33, 35, 36	syl3anc 1170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
38		addclnq 6837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
39	34, 33, 38	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
40		addclnq 6837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) ∈ Q)
41	39, 40	sylancom 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) ∈ Q)
42	37, 41	eqeltrrd 2160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q)
43	32, 35	ffvelrnd 5380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) ∈ Q)
44		ltsonq 6860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ <_Q Or Q
45		so2nr 4112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
46	44, 45	mpan 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
47	42, 43, 46	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣))))
48	12	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
49		addcomnqg 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
50	49	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
51		addassnqg 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
52	51	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → ((𝑓 +_Q 𝑔) +_Q ℎ) = (𝑓 +_Q (𝑔 +_Q ℎ)))
53	39, 48, 35, 50, 52	caov32d 5760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) = ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆))
54	53	breq1d 3821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
55		ltanqg 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
56	55	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
57	56, 41, 43, 48, 50	caovord2d 5749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) <_Q (𝐹‘𝑣) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
58	37	breq1d 3821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑣) <_Q (𝐹‘𝑣) ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
59	54, 57, 58	3bitr2d 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
60	59	biimpd 142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣)))
61	9	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
62		fveq2 5253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑣))
63		oveq1 5598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (𝑝 +_Q 𝑞) = (𝑣 +_Q 𝑞))
64	63	oveq2d 5607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
65	62, 64	breq12d 3824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
66	62, 63	oveq12d 5609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
67	66	breq2d 3823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
68	65, 67	anbi12d 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
69	68	ralbidv 2374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑣 → (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
70	69	rspcv 2708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑣 ∈ Q → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
71	70	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
72	61, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
73		rsp 2417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))) → (𝑞 ∈ Q → ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))))
74	72, 33, 73	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞))))
75	74	simpld 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)))
76		addcomnqg 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑣 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑣 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑣))
77	35, 33, 76	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑣 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑣))
78	77	oveq2d 5607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑣 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
79	75, 78	breqtrd 3835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))
80	60, 79	jctird 310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) → (((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)) <_Q (𝐹‘𝑣) ∧ (𝐹‘𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑞 +_Q 𝑣)))))
81	47, 80	mtod 622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ 𝑣 ∈ Q) → ¬ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
82	81	nrexdv 2460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆))
83	8	ffvelrnda 5379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
84	83, 38	sylancom 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q)
85	12	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
86		addclnq 6837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q)
87	84, 85, 86	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q)
88		oveq1 5598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → (𝑙 +_Q 𝑣) = ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣))
89	88	breq1d 3821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → ((𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
90	89	rexbidv 2375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) → (∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
91	90	elrab3 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
92	87, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ↔ ∃𝑣 ∈ Q ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)))
93	82, 92	mtbird 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)})
94	3	rabex 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)} ∈ V
95	3	rabex 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
96	94, 95	op1st 5852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}
97	96	eleq2i 2149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)})
98	93, 97	sylnibr 635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑣) <_Q ((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑣 ∈ Q (((𝐹‘𝑣) +_Q 𝑣) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩))
99	31, 98	ssneldd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
100	99	adantlr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
101	100	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
102	8, 9, 10, 11	cauappcvgprlemcl 7115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
103		nqprlu 7009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
104	12, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
105		addclpr 6999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
106	102, 104, 105	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
107		prop 6937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
109		prloc 6953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
110	108, 109	sylan 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
111	110	adantlr 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
112	111	adantlr 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
113	112	orcomd 681	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → (𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)) ∨ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
114	101, 113	ecased 1281	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
115	114	ex 113	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
116	115	rexlimdva 2483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟 → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
117	116	expimpd 355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑟) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
118	7, 117	syl5bi 150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
119	118	ssrdv 3016	1 ⊢ (𝜑 → (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 102 ↔ wb 103 ∨ wo 662 ∧ w3a 920 = wceq 1285 ∈ wcel 1434 {cab 2069 ∀wral 2353 ∃wrex 2354 {crab 2357 ⊆ wss 2984 ⟨cop 3425 class class class wbr 3811 Or wor 4086 ⟶wf 4965 ‘cfv 4969 (class class class)co 5591 1^st c1st 5844 2^nd c2nd 5845 Qcnq 6742 +_Q cplq 6744 <_Q cltq 6747 Pcnp 6753 +_P cpp 6755

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1377 ax-7 1378 ax-gen 1379 ax-ie1 1423 ax-ie2 1424 ax-8 1436 ax-10 1437 ax-11 1438 ax-i12 1439 ax-bndl 1440 ax-4 1441 ax-13 1445 ax-14 1446 ax-17 1460 ax-i9 1464 ax-ial 1468 ax-i5r 1469 ax-ext 2065 ax-coll 3919 ax-sep 3922 ax-nul 3930 ax-pow 3974 ax-pr 4000 ax-un 4224 ax-setind 4316 ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 777 df-3or 921 df-3an 922 df-tru 1288 df-fal 1291 df-nf 1391 df-sb 1688 df-eu 1946 df-mo 1947 df-clab 2070 df-cleq 2076 df-clel 2079 df-nfc 2212 df-ne 2250 df-ral 2358 df-rex 2359 df-reu 2360 df-rab 2362 df-v 2614 df-sbc 2827 df-csb 2920 df-dif 2986 df-un 2988 df-in 2990 df-ss 2997 df-nul 3270 df-pw 3408 df-sn 3428 df-pr 3429 df-op 3431 df-uni 3628 df-int 3663 df-iun 3706 df-br 3812 df-opab 3866 df-mpt 3867 df-tr 3902 df-eprel 4080 df-id 4084 df-po 4087 df-iso 4088 df-iord 4157 df-on 4159 df-suc 4162 df-iom 4369 df-xp 4407 df-rel 4408 df-cnv 4409 df-co 4410 df-dm 4411 df-rn 4412 df-res 4413 df-ima 4414 df-iota 4934 df-fun 4971 df-fn 4972 df-f 4973 df-f1 4974 df-fo 4975 df-f1o 4976 df-fv 4977 df-ov 5594 df-oprab 5595 df-mpt2 5596 df-1st 5846 df-2nd 5847 df-recs 6002 df-irdg 6067 df-1o 6113 df-2o 6114 df-oadd 6117 df-omul 6118 df-er 6222 df-ec 6224 df-qs 6228 df-ni 6766 df-pli 6767 df-mi 6768 df-lti 6769 df-plpq 6806 df-mpq 6807 df-enq 6809 df-nqqs 6810 df-plqqs 6811 df-mqqs 6812 df-1nqqs 6813 df-rq 6814 df-ltnqqs 6815 df-enq0 6886 df-nq0 6887 df-0nq0 6888 df-plq0 6889 df-mq0 6890 df-inp 6928 df-iplp 6930

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemladd 7120

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