Theorem isprm2lem 12284

Description: Lemma for isprm2 12285. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2lem	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ≠ 1)
2	1	necomd 2453	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ≠ 𝑃)
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o)
4		nnz 9345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
5		1dvds 11970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑃)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∥ 𝑃)
8		1nn 9001	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		breq1 4036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
10	9	elrab3 2921	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃))
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃)
12	7, 11	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
13		iddvds 11969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
14	4, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∥ 𝑃)
15	14	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∥ 𝑃)
16		breq1 4036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
17	16	elrab3 2921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
18	17	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ 𝑃 ∥ 𝑃))
19	15, 18	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
20		en2eqpr 6968	. . . . 5 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ∧ 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ∧ 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
21	3, 12, 19, 20	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
22	2, 21	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃})
23	22	ex 115	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
24		necom 2451	. . . 4 ⊢ (1 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 1)
25		pr2ne 7259	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
26	8, 25	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
27	26	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 ≠ 𝑃) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
28	24, 27	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
29		breq1 4036	. . 3 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {1, 𝑃} ≈ 2o))
30	28, 29	syl5ibrcom 157	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
31	23, 30	impbid 129	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  {crab 2479  {cpr 3623   class class class wbr 4033  2_oc2o 6468   ≈ cen 6797  1c1 7880  ℕcn 8990  ℤcz 9326   ∥ cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  isprm2  12285