ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm2lem GIF version

Theorem isprm2lem 12099
Description: Lemma for isprm2 12100. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑛

Proof of Theorem isprm2lem
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ≠ 1)
21necomd 2433 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ≠ 𝑃)
3 simpr 110 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o)
4 nnz 9261 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
5 1dvds 11796 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
64, 5syl 14 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑃)
76ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ∥ 𝑃)
8 1nn 8919 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
9 breq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
109elrab3 2894 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃))
118, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 1 ∥ 𝑃)
127, 11sylibr 134 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
13 iddvds 11795 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
144, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃𝑃)
1514ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃𝑃)
16 breq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 → (𝑛𝑃𝑃𝑃))
1716elrab3 2894 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 𝑃𝑃))
1817ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → (𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ 𝑃𝑃))
1915, 18mpbird 167 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
20 en2eqpr 6901 . . . . 5 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ∧ 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ∧ 𝑃 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃}) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
213, 12, 19, 20syl3anc 1238 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → (1 ≠ 𝑃 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
222, 21mpd 13 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃})
2322ex 115 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
24 necom 2431 . . . 4 (1 ≠ 𝑃𝑃 ≠ 1)
25 pr2ne 7185 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
268, 25mpan 424 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → ({1, 𝑃} ≈ 2o ↔ 1 ≠ 𝑃))
2726biimpar 297 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 ≠ 𝑃) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
2824, 27sylan2br 288 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → {1, 𝑃} ≈ 2o)
29 breq1 4003 . . 3 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {1, 𝑃} ≈ 2o))
3028, 29syl5ibrcom 157 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o))
3123, 30impbid 129 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  {crab 2459  {cpr 3592   class class class wbr 4000  2oc2o 6405  cen 6732  1c1 7803  cn 8908  cz 9242  cdvds 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-z 9243  df-dvds 11779
This theorem is referenced by:  isprm2  12100
  Copyright terms: Public domain W3C validator