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Theorem ssnnctlemct 12447
Description: Lemma for ssnnct 12448. The result. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ssnnctlem.g 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 1)
Assertion
Ref Expression
ssnnctlemct ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• DECID π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   π‘₯,𝐴   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)
Proof of Theorem ssnnctlemct
Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2240 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
21dcbid 838 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (DECID π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑧 ∈ 𝐴))
32cbvralv 2704 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• DECID π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
4 imassrn 4982 . . . . 5 (◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† ran ◑𝐺
5 1z 9279 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
6 id 19 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„€)
7 ssnnctlem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 1)
86, 7frec2uzf1od 10406 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’(β„€β‰₯β€˜1))
95, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’(β„€β‰₯β€˜1)
10 nnuz 9563 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
11 f1oeq3 5452 . . . . . . . . . 10 (β„• = (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• ↔ 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’(β„€β‰₯β€˜1)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• ↔ 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’(β„€β‰₯β€˜1))
139, 12mpbir 146 . . . . . . . 8 𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„•
14 f1ocnv 5475 . . . . . . . 8 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• β†’ ◑𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’Ο‰)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ◑𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’Ο‰
16 dff1o5 5471 . . . . . . 7 (◑𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’Ο‰ ↔ (◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰ ∧ ran ◑𝐺 = Ο‰))
1715, 16mpbi 145 . . . . . 6 (◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰ ∧ ran ◑𝐺 = Ο‰)
1817simpri 113 . . . . 5 ran ◑𝐺 = Ο‰
194, 18sseqtri 3190 . . . 4 (◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† Ο‰
20 eleq1 2240 . . . . . . . 8 (𝑧 = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴))
2120dcbid 838 . . . . . . 7 (𝑧 = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴))
22 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
23 f1of 5462 . . . . . . . . 9 (𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•)
2413, 23mp1i 10 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆβ„•)
25 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ 𝑦 ∈ Ο‰)
2624, 25ffvelcdmd 5653 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ β„•)
2721, 22, 26rspcdva 2847 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ DECID (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
28 f1of1 5461 . . . . . . . . . 10 (◑𝐺:ℕ–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰)
2915, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰
30 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
31 f1elima 5774 . . . . . . . . 9 ((◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰ ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ β„• ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ↔ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴))
3229, 26, 30, 31mp3an2i 1342 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ↔ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴))
33 f1ocnvfv1 5778 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:ω–1-1-ontoβ†’β„• ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
3413, 33mpan 424 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
3534adantl 277 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = 𝑦)
3635eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ↔ 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)))
3732, 36bitr3d 190 . . . . . . 7 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)))
3837dcbid 838 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (DECID (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)))
3927, 38mpbid 147 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ DECID 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴))
4039ralrimiva 2550 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ DECID 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴))
41 ssomct 12446 . . . 4 (((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ† Ο‰ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ DECID 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–ontoβ†’((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ” 1o))
4219, 40, 41sylancr 414 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„• DECID 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–ontoβ†’((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ” 1o))
433, 42sylan2b 287 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• DECID π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–ontoβ†’((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ” 1o))
44 nnex 8925 . . . . . 6 β„• ∈ V
4544ssex 4141 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 𝐴 ∈ V)
46 f1ores 5477 . . . . . 6 ((◑𝐺:ℕ–1-1β†’Ο‰ ∧ 𝐴 βŠ† β„•) β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’(◑𝐺 β€œ 𝐴))
4729, 46mpan 424 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (◑𝐺 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’(◑𝐺 β€œ 𝐴))
48 f1oeng 6757 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (◑𝐺 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’(◑𝐺 β€œ 𝐴)) β†’ 𝐴 β‰ˆ (◑𝐺 β€œ 𝐴))
4945, 47, 48syl2anc 411 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 𝐴 β‰ˆ (◑𝐺 β€œ 𝐴))
50 enct 12434 . . . 4 (𝐴 β‰ˆ (◑𝐺 β€œ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) ↔ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–ontoβ†’((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ” 1o)))
5149, 50syl 14 . . 3 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) ↔ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–ontoβ†’((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ” 1o)))
5251adantr 276 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• DECID π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o) ↔ βˆƒπ‘” 𝑔:ω–ontoβ†’((◑𝐺 β€œ 𝐴) βŠ” 1o)))
5343, 52mpbird 167 1 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• DECID π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ω–ontoβ†’(𝐴 βŠ” 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  Ο‰com 4590  β—‘ccnv 4626  ran crn 4628   β†Ύ cres 4629   β€œ cima 4630  βŸΆwf 5213  β€“1-1β†’wf1 5214  β€“ontoβ†’wfo 5215  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5216  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  freccfrec 6391  1oc1o 6410   β‰ˆ cen 6738   βŠ” cdju 7036  1c1 7812   + caddc 7814  β„•cn 8919  β„€cz 9253  β„€β‰₯cuz 9528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047  df-case 7083  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529
This theorem is referenced by:  ssnnct  12448
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