Theorem fvconst2 5712

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 16-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconst2.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvconst2	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvconst2.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fvconst2g 5710	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	mpan 422	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583   × cxp 4609  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  ovconst2  6004  mapsncnv  6673  0ct  7084  infnninfOLD  7101  exmidomni  7118  ser0f  10471  fser0const  10472  iserge0  11306  sum0  11351  isumz  11352  prodf1f  11506  fprodntrivap  11547  prod1dc  11549  0nninf  14037