Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserge0 GIF version

Theorem iserge0 11143
 Description: The limit of an infinite series of nonnegative reals is nonnegative. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserge0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserge0.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserge0.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
iserge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
iserge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserge0
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserge0.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 serclim0 11105 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
42, 3syl 14 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
5 iserge0.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
6 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
76, 1eleqtrdi 2233 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
8 c0ex 7783 . . . . 5 0 ∈ V
98fvconst2 5643 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 14 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
11 0re 7789 . . 3 0 ∈ ℝ
1210, 11eqeltrdi 2231 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ∈ ℝ)
13 iserge0.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
14 iserge0.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
1510, 14eqbrtrd 3957 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
161, 2, 4, 5, 12, 13, 15iserle 11142 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {csn 3531   class class class wbr 3936   × cxp 4544  ‘cfv 5130  ℝcr 7642  0cc0 7643   + caddc 7646   ≤ cle 7824  ℤcz 9077  ℤ≥cuz 9349  seqcseq 10248   ⇝ cli 11078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079 This theorem is referenced by:  isumge0  11230
 Copyright terms: Public domain W3C validator