ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumz GIF version

Theorem isumz 11396
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
isumz (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝑗,𝑀,π‘˜

Proof of Theorem isumz
Dummy variables π‘Ž 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simp1 997 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 simp2 998 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 c0ex 7950 . . . . . . 7 0 ∈ V
54fvconst2 5732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
65adantl 277 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})β€˜π‘˜) = 0)
7 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
87dcbid 838 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘˜ ∈ 𝐴))
9 simpl3 1002 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
10 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
118, 9, 10rspcdva 2846 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ DECID π‘˜ ∈ 𝐴)
12 ifiddc 3568 . . . . . 6 (DECID π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 0, 0) = 0)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐴, 0, 0) = 0)
146, 13eqtr4d 2213 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 0, 0))
15 simp3 999 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
16 eleq1w 2238 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘Ž β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ π‘Ž ∈ 𝐴))
1716dcbid 838 . . . . . 6 (𝑗 = π‘Ž β†’ (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID π‘Ž ∈ 𝐴))
1817cbvralv 2703 . . . . 5 (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID π‘Ž ∈ 𝐴)
1915, 18sylib 122 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID π‘Ž ∈ 𝐴)
20 0cnd 7949 . . . 4 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
211, 2, 3, 14, 19, 20zsumdc 11391 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0}))))
22 fclim 11301 . . . . 5 ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚
23 ffun 5368 . . . . 5 ( ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚ β†’ Fun ⇝ )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Fun ⇝
25 serclim0 11312 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„€ β†’ seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})) ⇝ 0)
262, 25syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})) ⇝ 0)
27 funbrfv 5554 . . . 4 (Fun ⇝ β†’ (seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0})) ⇝ 0 β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0}))) = 0))
2824, 26, 27mpsyl 65 . . 3 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {0}))) = 0)
2921, 28eqtrd 2210 . 2 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
30 fz1f1o 11382 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
31 sumeq1 11362 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 0)
32 sum0 11395 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 0 = 0
3331, 32eqtrdi 2226 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
34 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ 0 = 0)
35 simpl 109 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
36 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
37 0cnd 7949 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ β„‚)
38 elfznn 10053 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
394fvconst2 5732 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
4140adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
4234, 35, 36, 37, 41fsum3 11394 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄)))
43 nnuz 9562 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4443fser0const 10515 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›), 0)) = (β„• Γ— {0}))
4544seqeq3d 10452 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›), 0))) = seq1( + , (β„• Γ— {0})))
4645fveq1d 5517 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄)) = (seq1( + , (β„• Γ— {0}))β€˜(β™―β€˜π΄)))
4743ser0 10513 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (seq1( + , (β„• Γ— {0}))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 0)
4846, 47eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 0)
4935, 48syl 14 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ≀ (β™―β€˜π΄), ((β„• Γ— {0})β€˜π‘›), 0)))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 0)
5042, 49eqtrd 2210 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
5150ex 115 . . . . . 6 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0))
5251exlimdv 1819 . . . . 5 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0))
5352imp 124 . . . 4 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
5433, 53jaoi 716 . . 3 ((𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
5530, 54syl 14 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
5629, 55jaoi 716 1 (((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3129  βˆ…c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   Γ— cxp 4624  dom cdm 4626  Fun wfun 5210  βŸΆwf 5212  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5215  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Fincfn 6739  β„‚cc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ≀ cle 7992  β„•cn 8918  β„€cz 9252  β„€β‰₯cuz 9527  ...cfz 10007  seqcseq 10444  β™―chash 10754   ⇝ cli 11285  Ξ£csu 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361
This theorem is referenced by:  fsum00  11469  pcfac  12347  nconstwlpolem0  14746
  Copyright terms: Public domain W3C validator