ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumz GIF version

Theorem isumz 11109
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
isumz (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem isumz
Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2115 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simp1 964 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simp2 965 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 7724 . . . . . . 7 0 ∈ V
54fvconst2 5602 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
65adantl 273 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
7 eleq1w 2176 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
87dcbid 806 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
9 simpl3 969 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
10 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
118, 9, 10rspcdva 2766 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 ifiddc 3473 . . . . . 6 (DECID 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0)
146, 13eqtr4d 2151 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
15 simp3 966 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
16 eleq1w 2176 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐴𝑎𝐴))
1716dcbid 806 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑎𝐴))
1817cbvralv 2629 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
1915, 18sylib 121 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
20 0cnd 7723 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
211, 2, 3, 14, 19, 20zsumdc 11104 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
22 fclim 11014 . . . . 5 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
23 ffun 5243 . . . . 5 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Fun ⇝
25 serclim0 11025 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
262, 25syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
27 funbrfv 5426 . . . 4 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
2824, 26, 27mpsyl 65 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
2921, 28eqtrd 2148 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
30 fz1f1o 11095 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
31 sumeq1 11075 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
32 sum0 11108 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
3331, 32syl6eq 2164 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
34 eqidd 2116 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
35 simpl 108 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
36 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
37 0cnd 7723 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
38 elfznn 9785 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
394fvconst2 5602 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4140adantl 273 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4234, 35, 36, 37, 41fsum3 11107 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)))
43 nnuz 9313 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
4443fser0const 10240 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)) = (ℕ × {0}))
4544seqeq3d 10177 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0))) = seq1( + , (ℕ × {0})))
4645fveq1d 5389 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
4743ser0 10238 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4846, 47eqtrd 2148 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4935, 48syl 14 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
5042, 49eqtrd 2148 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5150ex 114 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5251exlimdv 1773 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5352imp 123 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5433, 53jaoi 688 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5530, 54syl 14 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5629, 55jaoi 688 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 680  DECID wdc 802  w3a 945   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  wral 2391  wss 3039  c0 3331  ifcif 3442  {csn 3495   class class class wbr 3897  cmpt 3957   × cxp 4505  dom cdm 4507  Fun wfun 5085  wf 5087  1-1-ontowf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587  cle 7765  cn 8680  cz 9008  cuz 9278  ...cfz 9741  seqcseq 10169  chash 10472  cli 10998  Σcsu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by:  fsum00  11182
  Copyright terms: Public domain W3C validator