Theorem isumz 12106

Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isumz	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem isumz

Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4		c0ex 8286	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 5907	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
7		eleq1w 2295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
8	7	dcbid 846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑘 ∈ 𝐴))
9		simpl3 1029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
10		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	8, 9, 10	rspcdva 2928	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
12		ifiddc 3663	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0) = 0)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0) = 0)
14	6, 13	eqtr4d 2270	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0))
15		simp3 1026	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
16		eleq1w 2295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
17	16	dcbid 846	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
18	17	cbvralv 2780	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
19	15, 18	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
20		0cnd 8285	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
21	1, 2, 3, 14, 19, 20	zsumdc 12101	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))))
22		fclim 12010	. . . . 5 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
23		ffun 5518	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ⇝
25		serclim0 12021	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
26	2, 25	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
27		funbrfv 5720	. . . 4 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0))
28	24, 26, 27	mpsyl 65	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0)
29	21, 28	eqtrd 2267	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
30		fz1f1o 12091	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
31		sumeq1 12071	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
32		sum0 12105	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
33	31, 32	eqtrdi 2283	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
34		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 0 = 0)
35		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
36		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
37		0cnd 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
38		elfznn 10414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
39	4	fvconst2 5907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
42	34, 35, 36, 37, 41	fsum3 12104	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)))
43		nnuz 9913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
44	43	fser0const 10926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)) = (ℕ × {0}))
45	44	seqeq3d 10846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0))) = seq1( + , (ℕ × {0})))
46	45	fveq1d 5679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
47	43	ser0 10924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
48	46, 47	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
49	35, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
50	42, 49	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
51	50	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
52	51	exlimdv 1868	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
53	52	imp 124	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
54	33, 53	jaoi 724	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
55	30, 54	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
56	29, 55	jaoi 724	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ifcif 3625  {csn 3695   class class class wbr 4115   ↦ cmpt 4177   × cxp 4754  dom cdm 4756  Fun wfun 5353  ⟶wf 5355  –1-1-onto→wf1o 5358  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060  Fincfn 6990  ℂcc 8143  0cc0 8145  1c1 8146   + caddc 8148   ≤ cle 8327  ℕcn 9259  ℤcz 9599  ℤ_≥cuz 9876  ...cfz 10366  seqcseq 10838  ♯chash 11168   ⇝ cli 11994  Σcsu 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263  ax-arch 8264  ax-caucvg 8265

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-isom 5368  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-frec 6637  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6782  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-q 9975  df-rp 10010  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-seqfrec 10839  df-exp 10930  df-ihash 11169  df-cj 11557  df-re 11558  df-im 11559  df-rsqrt 11714  df-abs 11715  df-clim 11995  df-sumdc 12070

This theorem is referenced by:  fsum00  12179  fsumdvds  12559  pcfac  13079  plymullem1  15744  nconstwlpolem0  16989