ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumz GIF version

Theorem isumz 11363
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
isumz (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem isumz
Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2175 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simp1 997 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simp2 998 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 7926 . . . . . . 7 0 ∈ V
54fvconst2 5724 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
65adantl 277 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
7 eleq1w 2236 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
87dcbid 838 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
9 simpl3 1002 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
10 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
118, 9, 10rspcdva 2844 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 ifiddc 3565 . . . . . 6 (DECID 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0)
146, 13eqtr4d 2211 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
15 simp3 999 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
16 eleq1w 2236 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐴𝑎𝐴))
1716dcbid 838 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑎𝐴))
1817cbvralv 2701 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
1915, 18sylib 122 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
20 0cnd 7925 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
211, 2, 3, 14, 19, 20zsumdc 11358 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
22 fclim 11268 . . . . 5 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
23 ffun 5360 . . . . 5 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Fun ⇝
25 serclim0 11279 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
262, 25syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
27 funbrfv 5546 . . . 4 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
2824, 26, 27mpsyl 65 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
2921, 28eqtrd 2208 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
30 fz1f1o 11349 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
31 sumeq1 11329 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
32 sum0 11362 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
3331, 32eqtrdi 2224 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
34 eqidd 2176 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
35 simpl 109 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
36 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
37 0cnd 7925 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
38 elfznn 10022 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
394fvconst2 5724 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4140adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4234, 35, 36, 37, 41fsum3 11361 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)))
43 nnuz 9534 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
4443fser0const 10484 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)) = (ℕ × {0}))
4544seqeq3d 10421 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0))) = seq1( + , (ℕ × {0})))
4645fveq1d 5509 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
4743ser0 10482 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4846, 47eqtrd 2208 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4935, 48syl 14 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
5042, 49eqtrd 2208 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5150ex 115 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5251exlimdv 1817 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5352imp 124 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5433, 53jaoi 716 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5530, 54syl 14 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5629, 55jaoi 716 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wex 1490  wcel 2146  wral 2453  wss 3127  c0 3420  ifcif 3532  {csn 3589   class class class wbr 3998  cmpt 4059   × cxp 4618  dom cdm 4620  Fun wfun 5202  wf 5204  1-1-ontowf1o 5207  cfv 5208  (class class class)co 5865  Fincfn 6730  cc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789  cle 7967  cn 8890  cz 9224  cuz 9499  ...cfz 9977  seqcseq 10413  chash 10721  cli 11252  Σcsu 11327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-sumdc 11328
This theorem is referenced by:  fsum00  11436  pcfac  12313  nconstwlpolem0  14351
  Copyright terms: Public domain W3C validator