Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumz GIF version

Theorem isumz 11210
 Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
isumz (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀,𝑘

Proof of Theorem isumz
Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simp1 982 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simp2 983 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 7804 . . . . . . 7 0 ∈ V
54fvconst2 5645 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
65adantl 275 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
7 eleq1w 2201 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
87dcbid 824 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑘𝐴))
9 simpl3 987 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
10 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
118, 9, 10rspcdva 2799 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 ifiddc 3511 . . . . . 6 (DECID 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0)
146, 13eqtr4d 2176 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
15 simp3 984 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
16 eleq1w 2201 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝐴𝑎𝐴))
1716dcbid 824 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑎 → (DECID 𝑗𝐴DECID 𝑎𝐴))
1817cbvralv 2658 . . . . 5 (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
1915, 18sylib 121 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑎𝐴)
20 0cnd 7803 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
211, 2, 3, 14, 19, 20zsumdc 11205 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
22 fclim 11115 . . . . 5 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
23 ffun 5284 . . . . 5 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Fun ⇝
25 serclim0 11126 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
262, 25syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
27 funbrfv 5469 . . . 4 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
2824, 26, 27mpsyl 65 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
2921, 28eqtrd 2173 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
30 fz1f1o 11196 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
31 sumeq1 11176 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
32 sum0 11209 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
3331, 32eqtrdi 2189 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
34 eqidd 2141 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
35 simpl 108 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
36 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
37 0cnd 7803 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
38 elfznn 9885 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
394fvconst2 5645 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4140adantl 275 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4234, 35, 36, 37, 41fsum3 11208 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)))
43 nnuz 9405 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
4443fser0const 10340 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)) = (ℕ × {0}))
4544seqeq3d 10277 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0))) = seq1( + , (ℕ × {0})))
4645fveq1d 5432 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
4743ser0 10338 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4846, 47eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4935, 48syl 14 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐴), ((ℕ × {0})‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐴)) = 0)
5042, 49eqtrd 2173 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5150ex 114 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5251exlimdv 1792 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
5352imp 123 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5433, 53jaoi 706 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5530, 54syl 14 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5629, 55jaoi 706 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417   ⊆ wss 3077  ∅c0 3369  ifcif 3480  {csn 3533   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998   × cxp 4546  dom cdm 4548  Fun wfun 5126  ⟶wf 5128  –1-1-onto→wf1o 5131  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  Fincfn 6643  ℂcc 7662  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   ≤ cle 7845  ℕcn 8764  ℤcz 9098  ℤ≥cuz 9370  ...cfz 9841  seqcseq 10269  ♯chash 10573   ⇝ cli 11099  Σcsu 11174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-irdg 6276  df-frec 6297  df-1o 6322  df-oadd 6326  df-er 6438  df-en 6644  df-dom 6645  df-fin 6646  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-ihash 10574  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100  df-sumdc 11175 This theorem is referenced by:  fsum00  11283  nconstwlpolem0  13451
 Copyright terms: Public domain W3C validator