Theorem ser0f 10920

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ser0f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	ser0 10919	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = 0)
3		c0ex 8284	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5905	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
5	2, 4	eqtr4d 2270	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
6	5	rgen 2597	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
9	1	eleq2i 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		0cnd 8283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
11	4, 10	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12	9, 11	sylbir 135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
14	7, 8, 13	serf 10869	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
15	14	ffnd 5514	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
16	1	fneq2i 5456	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
17	15, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍)
18	3	fconst 5568	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
19		ffn 5513	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
21		eqfnfv 5780	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
22	17, 20, 21	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
23	6, 22	mpbiri 168	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {csn 3694   × cxp 4752   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  ℂcc 8141  0cc0 8143   + caddc 8146  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  serclim0  12015