ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser0f GIF version

Theorem ser0f 10423
Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
ser0f (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem ser0f
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser0.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21ser0 10422 . . . 4 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = 0)
3 c0ex 7874 . . . . 5 0 ∈ V
43fvconst2 5685 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
52, 4eqtr4d 2193 . . 3 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
65rgen 2510 . 2 𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7 eqid 2157 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
8 id 19 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
91eleq2i 2224 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
10 0cnd 7873 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 → 0 ∈ ℂ)
114, 10eqeltrd 2234 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
129, 11sylbir 134 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
1312adantl 275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
147, 8, 13serf 10382 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})):(ℤ𝑀)⟶ℂ)
1514ffnd 5322 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ𝑀))
161fneq2i 5267 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ𝑀))
1715, 16sylibr 133 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍)
183fconst 5367 . . . 4 (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
19 ffn 5321 . . . 4 ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
2018, 19ax-mp 5 . . 3 (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
21 eqfnfv 5567 . . 3 ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
2217, 20, 21sylancl 410 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
236, 22mpbiri 167 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  {csn 3561   × cxp 4586   Fn wfn 5167  wf 5168  cfv 5172  cc 7732  0cc0 7734   + caddc 7737  cz 9172  cuz 9444  seqcseq 10353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-seqfrec 10354
This theorem is referenced by:  serclim0  11213
  Copyright terms: Public domain W3C validator