Theorem ser0f 10517

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ser0f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	ser0 10516	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = 0)
3		c0ex 7953	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5734	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
5	2, 4	eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
6	5	rgen 2530	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
9	1	eleq2i 2244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		0cnd 7952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
11	4, 10	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12	9, 11	sylbir 135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
14	7, 8, 13	serf 10476	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
15	14	ffnd 5368	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
16	1	fneq2i 5313	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
17	15, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍)
18	3	fconst 5413	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
19		ffn 5367	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
21		eqfnfv 5615	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
22	17, 20, 21	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
23	6, 22	mpbiri 168	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  {csn 3594   × cxp 4626   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  ℂcc 7811  0cc0 7813   + caddc 7816  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  seqcseq 10447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448

This theorem is referenced by:  serclim0  11315