Theorem ser0f 10768

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ser0f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	ser0 10767	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = 0)
3		c0ex 8151	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5859	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
5	2, 4	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
6	5	rgen 2583	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
9	1	eleq2i 2296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		0cnd 8150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
11	4, 10	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12	9, 11	sylbir 135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
14	7, 8, 13	serf 10717	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
15	14	ffnd 5474	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
16	1	fneq2i 5416	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
17	15, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍)
18	3	fconst 5523	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
19		ffn 5473	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
21		eqfnfv 5734	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
22	17, 20, 21	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
23	6, 22	mpbiri 168	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {csn 3666   × cxp 4717   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  ℂcc 8008  0cc0 8010   + caddc 8013  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  seqcseq 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682

This theorem is referenced by:  serclim0  11831