Theorem ser0f 10626

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ser0f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem ser0f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	ser0 10625	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = 0)
3		c0ex 8020	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5778	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
5	2, 4	eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
6	5	rgen 2550	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
9	1	eleq2i 2263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		0cnd 8019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
11	4, 10	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12	9, 11	sylbir 135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
14	7, 8, 13	serf 10575	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
15	14	ffnd 5408	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
16	1	fneq2i 5353	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ≥‘𝑀))
17	15, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍)
18	3	fconst 5453	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
19		ffn 5407	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
21		eqfnfv 5659	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
22	17, 20, 21	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
23	6, 22	mpbiri 168	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {csn 3622   × cxp 4661   Fn wfn 5253  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  ℂcc 7877  0cc0 7879   + caddc 7882  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  serclim0  11470