ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fser0const GIF version

Theorem fser0const 10499
Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fser0const.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
fser0const (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
21iftrued 3541 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3 c0ex 7939 . . . . . . 7 0 ∈ V
43fvconst2 5728 . . . . . 6 (𝑛𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
54ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
62, 5eqtrd 2210 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7 simpr 110 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ¬ 𝑛𝑁)
87iffalsed 3544 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9 eluzelz 9523 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10 fser0const.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleq2s 2272 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
12 eluzelz 9523 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312, 10eleq2s 2272 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
14 zdcle 9315 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑁)
1511, 13, 14syl2anr 290 . . . . 5 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → DECID 𝑛𝑁)
16 exmiddc 836 . . . . 5 (DECID 𝑛𝑁 → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
1715, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
186, 8, 17mpjaodan 798 . . 3 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
1918mpteq2dva 4090 . 2 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛𝑍 ↦ 0))
20 fconstmpt 4670 . 2 (𝑍 × {0}) = (𝑛𝑍 ↦ 0)
2119, 20eqtr4di 2228 1 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  ifcif 3534  {csn 3591   class class class wbr 4000  cmpt 4061   × cxp 4621  cfv 5212  0cc0 7799  cle 7980  cz 9239  cuz 9514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515
This theorem is referenced by:  isumz  11378
  Copyright terms: Public domain W3C validator