Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fser0const GIF version

Theorem fser0const 10296
 Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fser0const.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
fser0const (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
21iftrued 3481 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3 c0ex 7767 . . . . . . 7 0 ∈ V
43fvconst2 5636 . . . . . 6 (𝑛𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
54ad2antlr 480 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
62, 5eqtrd 2172 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7 simpr 109 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ¬ 𝑛𝑁)
87iffalsed 3484 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9 eluzelz 9342 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10 fser0const.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleq2s 2234 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
12 eluzelz 9342 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312, 10eleq2s 2234 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
14 zdcle 9134 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑁)
1511, 13, 14syl2anr 288 . . . . 5 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → DECID 𝑛𝑁)
16 exmiddc 821 . . . . 5 (DECID 𝑛𝑁 → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
1715, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
186, 8, 17mpjaodan 787 . . 3 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
1918mpteq2dva 4018 . 2 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛𝑍 ↦ 0))
20 fconstmpt 4586 . 2 (𝑍 × {0}) = (𝑛𝑍 ↦ 0)
2119, 20syl6eqr 2190 1 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ifcif 3474  {csn 3527   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989   × cxp 4537  ‘cfv 5123  0cc0 7627   ≤ cle 7808  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334 This theorem is referenced by:  isumz  11165
 Copyright terms: Public domain W3C validator