Theorem fser0const 10955

Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fser0const.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fser0const	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → 𝑛 ≤ 𝑁)
2	1	iftrued 3647	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3		c0ex 8314	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
5	4	ad2antlr 493	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑛 ≤ 𝑁)
8	7	iffalsed 3650	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9		eluzelz 9914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10		fser0const.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleq2s 2333	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
12		eluzelz 9914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12, 10	eleq2s 2333	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		zdcle 9704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ≤ 𝑁)
15	11, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → DECID 𝑛 ≤ 𝑁)
16		exmiddc 848	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑛 ≤ 𝑁 → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁))
18	6, 8, 17	mpjaodan 810	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
19	18	mpteq2dva 4219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 0))
20		fconstmpt 4820	. 2 ⊢ (𝑍 × {0}) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 0)
21	19, 20	eqtr4di 2289	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ifcif 3638  {csn 3708   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770  ‘cfv 5375  0cc0 8173   ≤ cle 8355  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by:  isumz  12139