ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fser0const GIF version

Theorem fser0const 9916
Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fser0const.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
fser0const (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . . 6 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
21iftrued 3396 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3 c0ex 7461 . . . . . . 7 0 ∈ V
43fvconst2 5495 . . . . . 6 (𝑛𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
54ad2antlr 473 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
62, 5eqtrd 2120 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7 simpr 108 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ¬ 𝑛𝑁)
87iffalsed 3399 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9 eluzelz 8997 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10 fser0const.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleq2s 2182 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
12 eluzelz 8997 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312, 10eleq2s 2182 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
14 zdcle 8793 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑁)
1511, 13, 14syl2anr 284 . . . . 5 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → DECID 𝑛𝑁)
16 exmiddc 782 . . . . 5 (DECID 𝑛𝑁 → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
1715, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
186, 8, 17mpjaodan 747 . . 3 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
1918mpteq2dva 3920 . 2 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛𝑍 ↦ 0))
20 fconstmpt 4473 . 2 (𝑍 × {0}) = (𝑛𝑍 ↦ 0)
2119, 20syl6eqr 2138 1 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  ifcif 3389  {csn 3441   class class class wbr 3837  cmpt 3891   × cxp 4426  cfv 5002  0cc0 7329  cle 7502  cz 8720  cuz 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by:  isumz  10745
  Copyright terms: Public domain W3C validator