ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fser0const GIF version

Theorem fser0const 10472
Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fser0const.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
fser0const (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
21iftrued 3533 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3 c0ex 7914 . . . . . . 7 0 ∈ V
43fvconst2 5712 . . . . . 6 (𝑛𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
54ad2antlr 486 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
62, 5eqtrd 2203 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7 simpr 109 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ¬ 𝑛𝑁)
87iffalsed 3536 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9 eluzelz 9496 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10 fser0const.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleq2s 2265 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
12 eluzelz 9496 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312, 10eleq2s 2265 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
14 zdcle 9288 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑁)
1511, 13, 14syl2anr 288 . . . . 5 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → DECID 𝑛𝑁)
16 exmiddc 831 . . . . 5 (DECID 𝑛𝑁 → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
1715, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
186, 8, 17mpjaodan 793 . . 3 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
1918mpteq2dva 4079 . 2 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛𝑍 ↦ 0))
20 fconstmpt 4658 . 2 (𝑍 × {0}) = (𝑛𝑍 ↦ 0)
2119, 20eqtr4di 2221 1 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  ifcif 3526  {csn 3583   class class class wbr 3989  cmpt 4050   × cxp 4609  cfv 5198  0cc0 7774  cle 7955  cz 9212  cuz 9487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488
This theorem is referenced by:  isumz  11352
  Copyright terms: Public domain W3C validator