Theorem fser0const 10774

Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fser0const.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fser0const	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → 𝑛 ≤ 𝑁)
2	1	iftrued 3609	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3		c0ex 8156	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5862	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑛 ≤ 𝑁)
8	7	iffalsed 3612	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9		eluzelz 9748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10		fser0const.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleq2s 2324	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
12		eluzelz 9748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12, 10	eleq2s 2324	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		zdcle 9539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ≤ 𝑁)
15	11, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → DECID 𝑛 ≤ 𝑁)
16		exmiddc 841	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑛 ≤ 𝑁 → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁))
18	6, 8, 17	mpjaodan 803	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
19	18	mpteq2dva 4174	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 0))
20		fconstmpt 4768	. 2 ⊢ (𝑍 × {0}) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 0)
21	19, 20	eqtr4di 2280	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145   × cxp 4718  ‘cfv 5321  0cc0 8015   ≤ cle 8198  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739

This theorem is referenced by:  isumz  11921