Theorem fser0const 10687

Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fser0const.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
fser0const	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → 𝑛 ≤ 𝑁)
2	1	iftrued 3579	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3		c0ex 8073	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5807	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑛 ≤ 𝑁)
8	7	iffalsed 3582	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9		eluzelz 9664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10		fser0const.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	9, 10	eleq2s 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
12		eluzelz 9664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12, 10	eleq2s 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
14		zdcle 9456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛 ≤ 𝑁)
15	11, 13, 14	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → DECID 𝑛 ≤ 𝑁)
16		exmiddc 838	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑛 ≤ 𝑁 → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑛 ≤ 𝑁))
18	6, 8, 17	mpjaodan 800	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
19	18	mpteq2dva 4138	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 0))
20		fconstmpt 4726	. 2 ⊢ (𝑍 × {0}) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 0)
21	19, 20	eqtr4di 2257	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑛 ≤ 𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ifcif 3572  {csn 3634   class class class wbr 4047   ↦ cmpt 4109   × cxp 4677  ‘cfv 5276  0cc0 7932   ≤ cle 8115  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656

This theorem is referenced by:  isumz  11744