ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fser0const GIF version

Theorem fser0const 10415
Description: Simplifying an expression which turns out just to be a constant zero sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fser0const.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
fser0const (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem fser0const
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
21iftrued 3512 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = ((𝑍 × {0})‘𝑛))
3 c0ex 7872 . . . . . . 7 0 ∈ V
43fvconst2 5683 . . . . . 6 (𝑛𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
54ad2antlr 481 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑍 × {0})‘𝑛) = 0)
62, 5eqtrd 2190 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
7 simpr 109 . . . . 5 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → ¬ 𝑛𝑁)
87iffalsed 3515 . . . 4 (((𝑁𝑍𝑛𝑍) ∧ ¬ 𝑛𝑁) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
9 eluzelz 9448 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
10 fser0const.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10eleq2s 2252 . . . . . 6 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
12 eluzelz 9448 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312, 10eleq2s 2252 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
14 zdcle 9240 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑁)
1511, 13, 14syl2anr 288 . . . . 5 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → DECID 𝑛𝑁)
16 exmiddc 822 . . . . 5 (DECID 𝑛𝑁 → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
1715, 16syl 14 . . . 4 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → (𝑛𝑁 ∨ ¬ 𝑛𝑁))
186, 8, 17mpjaodan 788 . . 3 ((𝑁𝑍𝑛𝑍) → if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0) = 0)
1918mpteq2dva 4054 . 2 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑛𝑍 ↦ 0))
20 fconstmpt 4633 . 2 (𝑍 × {0}) = (𝑛𝑍 ↦ 0)
2119, 20eqtr4di 2208 1 (𝑁𝑍 → (𝑛𝑍 ↦ if(𝑛𝑁, ((𝑍 × {0})‘𝑛), 0)) = (𝑍 × {0}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335  wcel 2128  ifcif 3505  {csn 3560   class class class wbr 3965  cmpt 4025   × cxp 4584  cfv 5170  0cc0 7732  cle 7913  cz 9167  cuz 9439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440
This theorem is referenced by:  isumz  11286
  Copyright terms: Public domain W3C validator