ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prod1dc GIF version

Theorem prod1dc 11608
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
prod1dc (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆจ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘—,๐‘˜   ๐‘—,๐‘€,๐‘˜

Proof of Theorem prod1dc
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2187 . . 3 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 simp1 998 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 1ap0 8561 . . . 4 1 # 0
43a1i 9 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 # 0)
51prodfclim1 11566 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})) โ‡ 1)
62, 5syl 14 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})) โ‡ 1)
7 simp3 1000 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
8 eleq1w 2248 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘Ž โˆˆ ๐ด))
98dcbid 839 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด))
109cbvralv 2715 . . . 4 (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด)
117, 10sylib 122 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด)
12 simp2 999 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
13 1ex 7966 . . . . . 6 1 โˆˆ V
1413fvconst2 5745 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
1514adantl 277 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
16 eleq1w 2248 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘˜ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
1716dcbid 839 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘˜ โ†’ (DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
1811adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด)
19 simpr 110 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2017, 18, 19rspcdva 2858 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
21 ifiddc 3580 . . . . 5 (DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, 1, 1) = 1)
2220, 21syl 14 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, 1, 1) = 1)
2315, 22eqtr4d 2223 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, 1, 1))
24 1cnd 7987 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
251, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24zprodap0 11603 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
26 fz1f1o 11397 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)))
27 prodeq1 11575 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… 1)
28 prod0 11607 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… 1 = 1
2927, 28eqtrdi 2236 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
30 eqidd 2188 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘—) โ†’ 1 = 1)
31 simpl 109 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
33 1cnd 7987 . . . . . . . . . 10 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
34 elfznn 10068 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
3513fvconst2 5745 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
3736adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
3830, 31, 32, 33, 37fprodseq 11605 . . . . . . . . 9 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
39 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
4039iftrued 3553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—))
4135ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
4240, 41eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = 1)
43 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
4443iffalsed 3556 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = 1)
45 nnz 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
46 nnz 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
47 zdcle 9343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
4845, 46, 47syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ DECID ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
49 exmiddc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (DECID ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆจ ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
5048, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆจ ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
5142, 44, 50mpjaodan 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = 1)
5251mpteq2dva 4105 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1))
53 fconstmpt 4685 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„• ร— {1}) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)
5452, 53eqtr4di 2238 . . . . . . . . . . . 12 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)) = (โ„• ร— {1}))
5554seqeq3d 10467 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1))) = seq1( ยท , (โ„• ร— {1})))
5655adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1))) = seq1( ยท , (โ„• ร— {1})))
5756fveq1d 5529 . . . . . . . . 9 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
5838, 57eqtrd 2220 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
59 nnuz 9577 . . . . . . . . . 10 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6059prodf1 11564 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
6160adantr 276 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
6258, 61eqtrd 2220 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6362ex 115 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1))
6463exlimdv 1829 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1))
6564imp 124 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6629, 65jaoi 717 . . 3 ((๐ด = โˆ… โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6726, 66syl 14 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6825, 67jaoi 717 1 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆจ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709  DECID wdc 835   โˆง w3a 979   = wceq 1363  โˆƒwex 1502   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465   โІ wss 3141  โˆ…c0 3434  ifcif 3546  {csn 3604   class class class wbr 4015   โ†ฆ cmpt 4076   ร— cxp 4636  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5227  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Fincfn 6754  0cc0 7825  1c1 7826   ยท cmul 7830   โ‰ค cle 8007   # cap 8552  โ„•cn 8933  โ„คcz 9267  โ„คโ‰ฅcuz 9542  ...cfz 10022  seqcseq 10459  โ™ฏchash 10769   โ‡ cli 11300  โˆcprod 11572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator