ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prod1dc GIF version

Theorem prod1dc 11597
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
prod1dc (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆจ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘—,๐‘˜   ๐‘—,๐‘€,๐‘˜

Proof of Theorem prod1dc
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘“ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 simp1 997 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 1ap0 8550 . . . 4 1 # 0
43a1i 9 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 # 0)
51prodfclim1 11555 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ seq๐‘€( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})) โ‡ 1)
62, 5syl 14 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ seq๐‘€( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})) โ‡ 1)
7 simp3 999 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด)
8 eleq1w 2238 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘Ž โˆˆ ๐ด))
98dcbid 838 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘Ž โ†’ (DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด))
109cbvralv 2705 . . . 4 (โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด)
117, 10sylib 122 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด)
12 simp2 998 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
13 1ex 7955 . . . . . 6 1 โˆˆ V
1413fvconst2 5735 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
1514adantl 277 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
16 eleq1w 2238 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘˜ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
1716dcbid 838 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘˜ โ†’ (DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด โ†” DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
1811adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘Ž โˆˆ ๐ด)
19 simpr 110 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2017, 18, 19rspcdva 2848 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
21 ifiddc 3570 . . . . 5 (DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, 1, 1) = 1)
2220, 21syl 14 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, 1, 1) = 1)
2315, 22eqtr4d 2213 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) ร— {1})โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, 1, 1))
24 1cnd 7976 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
251, 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24zprodap0 11592 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
26 fz1f1o 11386 . . 3 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)))
27 prodeq1 11564 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… 1)
28 prod0 11596 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… 1 = 1
2927, 28eqtrdi 2226 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
30 eqidd 2178 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘—) โ†’ 1 = 1)
31 simpl 109 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
33 1cnd 7976 . . . . . . . . . 10 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
34 elfznn 10057 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
3513fvconst2 5735 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
3736adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
3830, 31, 32, 33, 37fprodseq 11594 . . . . . . . . 9 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
39 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
4039iftrued 3543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—))
4135ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—) = 1)
4240, 41eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = 1)
43 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
4443iffalsed 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = 1)
45 nnz 9275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
46 nnz 9275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
47 zdcle 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
4845, 46, 47syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ DECID ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด))
49 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (DECID ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†’ (๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆจ ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
5048, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆจ ยฌ ๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด)))
5142, 44, 50mpjaodan 798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1) = 1)
5251mpteq2dva 4095 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1))
53 fconstmpt 4675 . . . . . . . . . . . . 13 (โ„• ร— {1}) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ 1)
5452, 53eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . 12 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)) = (โ„• ร— {1}))
5554seqeq3d 10456 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1))) = seq1( ยท , (โ„• ร— {1})))
5655adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1))) = seq1( ยท , (โ„• ร— {1})))
5756fveq1d 5519 . . . . . . . . 9 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘— โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐ด), ((โ„• ร— {1})โ€˜๐‘—), 1)))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
5838, 57eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)))
59 nnuz 9566 . . . . . . . . . 10 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6059prodf1 11553 . . . . . . . . 9 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
6160adantr 276 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (seq1( ยท , (โ„• ร— {1}))โ€˜(โ™ฏโ€˜๐ด)) = 1)
6258, 61eqtrd 2210 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6362ex 115 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1))
6463exlimdv 1819 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1))
6564imp 124 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6629, 65jaoi 716 . . 3 ((๐ด = โˆ… โˆจ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“ ๐‘“:(1...(โ™ฏโ€˜๐ด))โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6726, 66syl 14 . 2 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
6825, 67jaoi 716 1 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โˆจ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด 1 = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455   โІ wss 3131  โˆ…c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594   class class class wbr 4005   โ†ฆ cmpt 4066   ร— cxp 4626  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5217  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  Fincfn 6743  0cc0 7814  1c1 7815   ยท cmul 7819   โ‰ค cle 7996   # cap 8541  โ„•cn 8922  โ„คcz 9256  โ„คโ‰ฅcuz 9531  ...cfz 10011  seqcseq 10448  โ™ฏchash 10758   โ‡ cli 11289  โˆcprod 11561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-proddc 11562
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator