Theorem prodf1f 11898

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	prodf1 11897	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = 1)
3		1ex 8074	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 5807	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) = 1)
5	2, 4	eqtr4d 2242	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘))
6	5	rgen 2560	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)
7		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1cnd 8095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 1 ∈ ℂ)
9	4, 8	eqeltrd 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
10	9	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
11	1, 7, 10	prodf 11893	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})):𝑍⟶ℂ)
12	11	ffnd 5432	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍)
13	3	fconst 5478	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {1}):𝑍⟶{1}
14		ffn 5431	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {1}):𝑍⟶{1} → (𝑍 × {1}) Fn 𝑍)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍
16		eqfnfv 5684	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
17	12, 15, 16	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
18	6, 17	mpbiri 168	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  {csn 3634   × cxp 4677   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  ℂcc 7930  1c1 7933   · cmul 7937  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  seqcseq 10599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600

This theorem is referenced by:  prodfclim1  11899