Theorem prodf1f 11484

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	prodf1 11483	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = 1)
3		1ex 7894	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 5701	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) = 1)
5	2, 4	eqtr4d 2201	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘))
6	5	rgen 2519	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)
7		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1cnd 7915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 1 ∈ ℂ)
9	4, 8	eqeltrd 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
10	9	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
11	1, 7, 10	prodf 11479	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})):𝑍⟶ℂ)
12	11	ffnd 5338	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍)
13	3	fconst 5383	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {1}):𝑍⟶{1}
14		ffn 5337	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {1}):𝑍⟶{1} → (𝑍 × {1}) Fn 𝑍)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍
16		eqfnfv 5583	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
17	12, 15, 16	sylancl 410	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
18	6, 17	mpbiri 167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  {csn 3576   × cxp 4602   Fn wfn 5183  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  ℂcc 7751  1c1 7754   · cmul 7758  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  prodfclim1  11485