Theorem prodf1f 12020

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	prodf1 12019	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = 1)
3		1ex 8109	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 5828	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) = 1)
5	2, 4	eqtr4d 2245	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘))
6	5	rgen 2563	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)
7		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1cnd 8130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 1 ∈ ℂ)
9	4, 8	eqeltrd 2286	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
10	9	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
11	1, 7, 10	prodf 12015	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})):𝑍⟶ℂ)
12	11	ffnd 5450	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍)
13	3	fconst 5497	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {1}):𝑍⟶{1}
14		ffn 5449	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {1}):𝑍⟶{1} → (𝑍 × {1}) Fn 𝑍)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍
16		eqfnfv 5705	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
17	12, 15, 16	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
18	6, 17	mpbiri 168	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  {csn 3646   × cxp 4694   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  ℂcc 7965  1c1 7968   · cmul 7972  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  seqcseq 10636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637

This theorem is referenced by:  prodfclim1  12021