Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodf1f GIF version

Theorem prodf1f 11319
 Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
prodf1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
prodf1f (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))

Proof of Theorem prodf1f
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodf1.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21prodf1 11318 . . . 4 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = 1)
3 1ex 7768 . . . . 5 1 ∈ V
43fvconst2 5636 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) = 1)
52, 4eqtr4d 2175 . . 3 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘))
65rgen 2485 . 2 𝑘𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)
7 id 19 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 1cnd 7789 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → 1 ∈ ℂ)
94, 8eqeltrd 2216 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
109adantl 275 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑍 × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
111, 7, 10prodf 11314 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})):𝑍⟶ℂ)
1211ffnd 5273 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍)
133fconst 5318 . . . 4 (𝑍 × {1}):𝑍⟶{1}
14 ffn 5272 . . . 4 ((𝑍 × {1}):𝑍⟶{1} → (𝑍 × {1}) Fn 𝑍)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 (𝑍 × {1}) Fn 𝑍
16 eqfnfv 5518 . . 3 ((seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {1}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
1712, 15, 16sylancl 409 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( · , (𝑍 × {1}))‘𝑘) = ((𝑍 × {1})‘𝑘)))
186, 17mpbiri 167 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , (𝑍 × {1})) = (𝑍 × {1}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  {csn 3527   × cxp 4537   Fn wfn 5118  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  ℂcc 7625  1c1 7628   · cmul 7632  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  seqcseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  prodfclim1  11320
 Copyright terms: Public domain W3C validator