Theorem fvn0elsuppb 6451

Description: The function value for a given argument is not empty iff the argument belongs to the support of the function with the empty set as zero. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fvn0elsuppb	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → ((𝐺‘𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅)))

Proof of Theorem fvn0elsuppb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvn0elsupp 6450	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))
2	1	exp43 372	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐺 Fn 𝐵 → ((𝐺‘𝑋) ≠ ∅ → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅)))))
3	2	3imp 1220	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → ((𝐺‘𝑋) ≠ ∅ → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅)))
4		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → 𝐺 Fn 𝐵)
5		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		0ex 4236	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → ∅ ∈ V)
8		elsuppfn 6442	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅) → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
11	9, 10	biimtrdi 163	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅))
12	3, 11	impbid 129	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 Fn 𝐵) → ((𝐺‘𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2812  ∅c0 3507   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   supp csupp 6434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-supp 6435

This theorem is referenced by: (None)