ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixxss2 GIF version

Theorem ixxss2 9835
Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxssixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
ixxss2.2 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑇𝑦)})
ixxss2.3 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑇𝐵𝐵𝑊𝐶) → 𝑤𝑆𝐶))
Assertion
Ref Expression
ixxss2 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) → (𝐴𝑃𝐵) ⊆ (𝐴𝑂𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑂(𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss2
StepHypRef Expression
1 ixxss2.2 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑇𝑦)})
21elixx3g 9831 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝑤𝑤𝑇𝐵)))
32simplbi 272 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
43adantl 275 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
54simp3d 1000 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
62simprbi 273 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) → (𝐴𝑅𝑤𝑤𝑇𝐵))
76adantl 275 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → (𝐴𝑅𝑤𝑤𝑇𝐵))
87simpld 111 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐴𝑅𝑤)
97simprd 113 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤𝑇𝐵)
10 simplr 520 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐵𝑊𝐶)
114simp2d 999 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 simpll 519 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
13 ixxss2.3 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑇𝐵𝐵𝑊𝐶) → 𝑤𝑆𝐶))
145, 11, 12, 13syl3anc 1227 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → ((𝑤𝑇𝐵𝐵𝑊𝐶) → 𝑤𝑆𝐶))
159, 10, 14mp2and 430 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤𝑆𝐶)
164simp1d 998 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 ixxssixx.1 . . . . . 6 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
1817elixx1 9827 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐶)))
1916, 12, 18syl2anc 409 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝑤𝑤𝑆𝐶)))
205, 8, 15, 19mpbir3and 1169 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶))
2120ex 114 . 2 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑃𝐵) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐶)))
2221ssrdv 3146 1 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝑊𝐶) → (𝐴𝑃𝐵) ⊆ (𝐴𝑂𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 967   = wceq 1342  wcel 2135  {crab 2446  wss 3114   class class class wbr 3979  (class class class)co 5839  cmpo 5841  *cxr 7926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-br 3980  df-opab 4041  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fv 5193  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931
This theorem is referenced by:  iooss2  9847
  Copyright terms: Public domain W3C validator