Theorem ixxss12 10043

Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixxssixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
ixxss12.2	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxss12.3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
ixxss12.4	⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ixxss12	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxss12.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
2	1	elixx3g 10038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷)))
3	2	simplbi 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1014	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑊𝐶)
7	2	simprbi 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷))
8	7	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷))
9	8	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶𝑇𝑤)
10		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	4	simp1d 1012	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		ixxss12.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
13	10, 11, 5, 12	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
14	6, 9, 13	mp2and 433	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑅𝑤)
15	8	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑈𝐷)
16		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷𝑋𝐵)
17	4	simp2d 1013	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
18		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		ixxss12.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
20	5, 17, 18, 19	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
21	15, 16, 20	mp2and 433	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑆𝐵)
22		ixxssixx.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
23	22	elixx1 10034	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
24	23	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
25	5, 14, 21, 24	mpbir3and 1183	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
26	25	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)))
27	26	ssrdv 3203	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489   ⊆ wss 3170   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956   ∈ cmpo 5958  ℝ^*cxr 8121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126

This theorem is referenced by:  iccss  10078  iccssioo  10079  icossico  10080  iccss2  10081  iccssico  10082  iocssioo  10100  icossioo  10101  ioossioo  10102