Theorem ixxss12 9863

Description: Subset relationship for intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixxssixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
ixxss12.2	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxss12.3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
ixxss12.4	⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ixxss12	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂,𝑥   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧   𝑤,𝑊   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxss12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxss12.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
2	1	elixx3g 9858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷)))
3	2	simplbi 272	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
4	3	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
5	4	simp3d 1006	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
6		simplrl 530	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑊𝐶)
7	2	simprbi 273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷))
8	7	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝐶𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐷))
9	8	simpld 111	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶𝑇𝑤)
10		simplll 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	4	simp1d 1004	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12		ixxss12.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
13	10, 11, 5, 12	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐶𝑇𝑤) → 𝐴𝑅𝑤))
14	6, 9, 13	mp2and 431	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐴𝑅𝑤)
15	8	simprd 113	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑈𝐷)
16		simplrr 531	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷𝑋𝐵)
17	4	simp2d 1005	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
18		simpllr 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
19		ixxss12.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
20	5, 17, 18, 19	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → ((𝑤𝑈𝐷 ∧ 𝐷𝑋𝐵) → 𝑤𝑆𝐵))
21	15, 16, 20	mp2and 431	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤𝑆𝐵)
22		ixxssixx.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
23	22	elixx1 9854	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
24	23	ad2antrr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
25	5, 14, 21, 24	mpbir3and 1175	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷)) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵))
26	25	ex 114	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐶𝑃𝐷) → 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)))
27	26	ssrdv 3153	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑊𝐶 ∧ 𝐷𝑋𝐵)) → (𝐶𝑃𝐷) ⊆ (𝐴𝑂𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855  ℝ^*cxr 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958

This theorem is referenced by:  iccss  9898  iccssioo  9899  icossico  9900  iccss2  9901  iccssico  9902  iocssioo  9920  icossioo  9921  ioossioo  9922