Theorem elixx3g 9858

Description: Membership in a set of open intervals of extended reals. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝐴 ∈ ℝ^* and 𝐵 ∈ ℝ^*. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixxssxr.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
elixx3g	⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 399	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵))))
2		df-3an 975	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3	2	anbi1i 455	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
4		ixxssxr.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
5	4	elmpocl 6047	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
6	4	elixx1 9854	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
7		3anass 977	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
8	6, 7	bitrdi 195	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵))))
9	5, 8	biadan2 453	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵))))
10	1, 3, 9	3bitr4ri 212	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855  ℝ^*cxr 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958

This theorem is referenced by:  ixxss1  9861  ixxss2  9862  ixxss12  9863  elioo3g  9867  iccss2  9901  iccssico2  9904  elicore  10223