Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  apdifflemf GIF version

Theorem apdifflemf 14450
Description: Lemma for apdiff 14452. Being apart from the point halfway between 𝑄 and 𝑅 suffices for 𝐴 to be a different distance from 𝑄 and from 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
apdifflemf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
apdifflemf.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
apdifflemf.qr (𝜑𝑄 < 𝑅)
apdifflemf.ap (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴)
Assertion
Ref Expression
apdifflemf (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))

Proof of Theorem apdifflemf
StepHypRef Expression
1 apdifflemf.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 7976 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 apdifflemf.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
4 qcn 9623 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℂ)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
62, 5subcld 8258 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
76adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
87abscld 11174 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑅)) ∈ ℝ)
9 apdifflemf.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
10 qcn 9623 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℂ)
119, 10syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
122, 11subcld 8258 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
1312abscld 11174 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ∈ ℝ)
1413adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑄)) ∈ ℝ)
15 qre 9614 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
169, 15syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
181adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 qaddcl 9624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
209, 3, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
21 qre 9614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
2322rehalfcld 9154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
25 apdifflemf.qr . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 < 𝑅)
26 qre 9614 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
273, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
28 avglt1 9146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄 < 𝑅𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)))
2916, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 < 𝑅𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)))
3025, 29mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))
3130adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴)
3317, 24, 18, 31, 32lttrd 8073 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 < 𝐴)
3417, 18, 33ltled 8066 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄𝐴)
3517, 18, 34abssubge0d 11169 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
3635oveq2d 5885 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) = (𝑅 − (𝐴𝑄)))
375adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
382adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3911adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 ∈ ℂ)
4037, 38, 39subsub3d 8288 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (𝐴𝑄)) = ((𝑅 + 𝑄) − 𝐴))
4137, 39addcomd 8098 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑅))
4241oveq1d 5884 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑅 + 𝑄) − 𝐴) = ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴))
4336, 40, 423eqtrd 2214 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) = ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴))
4422adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
45 2rp 9645 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 2 ∈ ℝ+)
4744, 18, 46ltdivmuld 9735 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴 ↔ (𝑄 + 𝑅) < (2 · 𝐴)))
4832, 47mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 + 𝑅) < (2 · 𝐴))
49382timesd 9150 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5048, 49breqtrd 4026 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 + 𝑅) < (𝐴 + 𝐴))
5144, 18, 18ltsubaddd 8488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (((𝑄 + 𝑅) − 𝐴) < 𝐴 ↔ (𝑄 + 𝑅) < (𝐴 + 𝐴)))
5250, 51mpbird 167 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴) < 𝐴)
5343, 52eqbrtrd 4022 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) < 𝐴)
5425adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 < 𝑅)
5527adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
56 difrp 9679 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄 < 𝑅 ↔ (𝑅𝑄) ∈ ℝ+))
5717, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 < 𝑅 ↔ (𝑅𝑄) ∈ ℝ+))
5854, 57mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅𝑄) ∈ ℝ+)
5918, 58ltaddrpd 9717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴 + (𝑅𝑄)))
6035oveq2d 5885 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))) = (𝑅 + (𝐴𝑄)))
6137, 38, 39addsub12d 8281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + (𝐴𝑄)) = (𝐴 + (𝑅𝑄)))
6260, 61eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))) = (𝐴 + (𝑅𝑄)))
6359, 62breqtrrd 4028 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))))
6418, 55, 14absdifltd 11171 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴𝑅)) < (abs‘(𝐴𝑄)) ↔ ((𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) < 𝐴𝐴 < (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))))))
6553, 63, 64mpbir2and 944 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑅)) < (abs‘(𝐴𝑄)))
668, 14, 65gtapd 8584 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))
6713adantr 276 . . 3 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) ∈ ℝ)
686adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
6968abscld 11174 . . 3 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑅)) ∈ ℝ)
7011, 5, 2subsubd 8286 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 − (𝑅𝐴)) = ((𝑄𝑅) + 𝐴))
7116, 27sublt0d 8517 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄𝑅) < 0 ↔ 𝑄 < 𝑅))
7225, 71mpbird 167 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑅) < 0)
7316, 27resubcld 8328 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑅) ∈ ℝ)
74 ltaddnegr 8372 . . . . . . . . 9 (((𝑄𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑅) < 0 ↔ ((𝑄𝑅) + 𝐴) < 𝐴))
7573, 1, 74syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝑅) < 0 ↔ ((𝑄𝑅) + 𝐴) < 𝐴))
7672, 75mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑅) + 𝐴) < 𝐴)
7770, 76eqbrtrd 4022 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 − (𝑅𝐴)) < 𝐴)
7877adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝑄 − (𝑅𝐴)) < 𝐴)
791adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8022adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
81 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))
8279, 79, 80, 81, 81lt2halvesd 9155 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝐴 + 𝐴) < (𝑄 + 𝑅))
8379, 79, 80ltaddsub2d 8493 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝐴 + 𝐴) < (𝑄 + 𝑅) ↔ 𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴)))
8482, 83mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴))
8511adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑄 ∈ ℂ)
865adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑅 ∈ ℂ)
872adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8885, 86, 87addsubassd 8278 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴) = (𝑄 + (𝑅𝐴)))
8984, 88breqtrd 4026 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < (𝑄 + (𝑅𝐴)))
9016adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑄 ∈ ℝ)
9127adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9291, 79resubcld 8328 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝑅𝐴) ∈ ℝ)
9379, 90, 92absdifltd 11171 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((abs‘(𝐴𝑄)) < (𝑅𝐴) ↔ ((𝑄 − (𝑅𝐴)) < 𝐴𝐴 < (𝑄 + (𝑅𝐴)))))
9478, 89, 93mpbir2and 944 . . . 4 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) < (𝑅𝐴))
9523adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
96 avglt2 9147 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄 < 𝑅 ↔ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅))
9716, 27, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 < 𝑅 ↔ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅))
9825, 97mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅)
9998adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅)
10079, 95, 91, 81, 99lttrd 8073 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < 𝑅)
10179, 91, 100ltled 8066 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴𝑅)
10279, 91, 101abssuble0d 11170 . . . 4 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝑅𝐴))
10394, 102breqtrrd 4028 . . 3 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) < (abs‘(𝐴𝑅)))
10467, 69, 103ltapd 8585 . 2 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))
105 apdifflemf.ap . . 3 (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴)
106 reaplt 8535 . . . 4 ((((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴 ↔ (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))))
10723, 1, 106syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴 ↔ (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))))
108105, 107mpbid 147 . 2 (𝜑 → (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)))
10966, 104, 108mpjaodan 798 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  2c2 8959  cq 9608  +crp 9640  abscabs 10990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  apdiff  14452
  Copyright terms: Public domain W3C validator