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Theorem apdifflemf 15192
Description: Lemma for apdiff 15194. Being apart from the point halfway between 𝑄 and 𝑅 suffices for 𝐴 to be a different distance from 𝑄 and from 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
apdifflemf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
apdifflemf.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
apdifflemf.qr (𝜑𝑄 < 𝑅)
apdifflemf.ap (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴)
Assertion
Ref Expression
apdifflemf (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))

Proof of Theorem apdifflemf
StepHypRef Expression
1 apdifflemf.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 8004 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 apdifflemf.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
4 qcn 9652 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℂ)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
62, 5subcld 8286 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
76adantr 276 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
87abscld 11208 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑅)) ∈ ℝ)
9 apdifflemf.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
10 qcn 9652 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℂ)
119, 10syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
122, 11subcld 8286 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
1312abscld 11208 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ∈ ℝ)
1413adantr 276 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑄)) ∈ ℝ)
15 qre 9643 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
169, 15syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 ∈ ℝ)
181adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 qaddcl 9653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
209, 3, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
21 qre 9643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
2322rehalfcld 9183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
25 apdifflemf.qr . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 < 𝑅)
26 qre 9643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
273, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
28 avglt1 9175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄 < 𝑅𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)))
2916, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 < 𝑅𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)))
3025, 29mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))
3130adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴)
3317, 24, 18, 31, 32lttrd 8101 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 < 𝐴)
3417, 18, 33ltled 8094 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄𝐴)
3517, 18, 34abssubge0d 11203 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
3635oveq2d 5907 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) = (𝑅 − (𝐴𝑄)))
375adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
382adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3911adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 ∈ ℂ)
4037, 38, 39subsub3d 8316 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (𝐴𝑄)) = ((𝑅 + 𝑄) − 𝐴))
4137, 39addcomd 8126 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑅))
4241oveq1d 5906 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑅 + 𝑄) − 𝐴) = ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴))
4336, 40, 423eqtrd 2226 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) = ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴))
4422adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
45 2rp 9676 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 2 ∈ ℝ+)
4744, 18, 46ltdivmuld 9766 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴 ↔ (𝑄 + 𝑅) < (2 · 𝐴)))
4832, 47mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 + 𝑅) < (2 · 𝐴))
49382timesd 9179 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5048, 49breqtrd 4044 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 + 𝑅) < (𝐴 + 𝐴))
5144, 18, 18ltsubaddd 8516 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (((𝑄 + 𝑅) − 𝐴) < 𝐴 ↔ (𝑄 + 𝑅) < (𝐴 + 𝐴)))
5250, 51mpbird 167 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴) < 𝐴)
5343, 52eqbrtrd 4040 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) < 𝐴)
5425adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑄 < 𝑅)
5527adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ)
56 difrp 9710 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄 < 𝑅 ↔ (𝑅𝑄) ∈ ℝ+))
5717, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑄 < 𝑅 ↔ (𝑅𝑄) ∈ ℝ+))
5854, 57mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅𝑄) ∈ ℝ+)
5918, 58ltaddrpd 9748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (𝐴 + (𝑅𝑄)))
6035oveq2d 5907 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))) = (𝑅 + (𝐴𝑄)))
6137, 38, 39addsub12d 8309 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + (𝐴𝑄)) = (𝐴 + (𝑅𝑄)))
6260, 61eqtrd 2222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))) = (𝐴 + (𝑅𝑄)))
6359, 62breqtrrd 4046 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))))
6418, 55, 14absdifltd 11205 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴𝑅)) < (abs‘(𝐴𝑄)) ↔ ((𝑅 − (abs‘(𝐴𝑄))) < 𝐴𝐴 < (𝑅 + (abs‘(𝐴𝑄))))))
6553, 63, 64mpbir2and 946 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑅)) < (abs‘(𝐴𝑄)))
668, 14, 65gtapd 8612 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))
6713adantr 276 . . 3 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) ∈ ℝ)
686adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
6968abscld 11208 . . 3 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑅)) ∈ ℝ)
7011, 5, 2subsubd 8314 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 − (𝑅𝐴)) = ((𝑄𝑅) + 𝐴))
7116, 27sublt0d 8545 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄𝑅) < 0 ↔ 𝑄 < 𝑅))
7225, 71mpbird 167 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑅) < 0)
7316, 27resubcld 8356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑅) ∈ ℝ)
74 ltaddnegr 8400 . . . . . . . . 9 (((𝑄𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑅) < 0 ↔ ((𝑄𝑅) + 𝐴) < 𝐴))
7573, 1, 74syl2anc 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄𝑅) < 0 ↔ ((𝑄𝑅) + 𝐴) < 𝐴))
7672, 75mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑅) + 𝐴) < 𝐴)
7770, 76eqbrtrd 4040 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 − (𝑅𝐴)) < 𝐴)
7877adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝑄 − (𝑅𝐴)) < 𝐴)
791adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8022adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℝ)
81 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))
8279, 79, 80, 81, 81lt2halvesd 9184 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝐴 + 𝐴) < (𝑄 + 𝑅))
8379, 79, 80ltaddsub2d 8521 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝐴 + 𝐴) < (𝑄 + 𝑅) ↔ 𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴)))
8482, 83mpbid 147 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴))
8511adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑄 ∈ ℂ)
865adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑅 ∈ ℂ)
872adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8885, 86, 87addsubassd 8306 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝑄 + 𝑅) − 𝐴) = (𝑄 + (𝑅𝐴)))
8984, 88breqtrd 4044 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < (𝑄 + (𝑅𝐴)))
9016adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑄 ∈ ℝ)
9127adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9291, 79resubcld 8356 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (𝑅𝐴) ∈ ℝ)
9379, 90, 92absdifltd 11205 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((abs‘(𝐴𝑄)) < (𝑅𝐴) ↔ ((𝑄 − (𝑅𝐴)) < 𝐴𝐴 < (𝑄 + (𝑅𝐴)))))
9478, 89, 93mpbir2and 946 . . . 4 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) < (𝑅𝐴))
9523adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
96 avglt2 9176 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑄 < 𝑅 ↔ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅))
9716, 27, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 < 𝑅 ↔ ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅))
9825, 97mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅)
9998adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝑅)
10079, 95, 91, 81, 99lttrd 8101 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴 < 𝑅)
10179, 91, 100ltled 8094 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → 𝐴𝑅)
10279, 91, 101abssuble0d 11204 . . . 4 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝑅𝐴))
10394, 102breqtrrd 4046 . . 3 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) < (abs‘(𝐴𝑅)))
10467, 69, 103ltapd 8613 . 2 ((𝜑𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)) → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))
105 apdifflemf.ap . . 3 (𝜑 → ((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴)
106 reaplt 8563 . . . 4 ((((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴 ↔ (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))))
10723, 1, 106syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (((𝑄 + 𝑅) / 2) # 𝐴 ↔ (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2))))
108105, 107mpbid 147 . 2 (𝜑 → (((𝑄 + 𝑅) / 2) < 𝐴𝐴 < ((𝑄 + 𝑅) / 2)))
10966, 104, 108mpjaodan 799 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) # (abs‘(𝐴𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891  cc 7827  cr 7828  0cc0 7829   + caddc 7832   · cmul 7834   < clt 8010  cmin 8146   # cap 8556   / cdiv 8647  2c2 8988  cq 9637  +crp 9671  abscabs 11024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026
This theorem is referenced by:  apdiff  15194
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