Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  apdifflemf GIF version

Theorem apdifflemf 15066
Description: Lemma for apdiff 15068. Being apart from the point halfway between ๐‘„ and ๐‘… suffices for ๐ด to be a different distance from ๐‘„ and from ๐‘…. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
apdifflemf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
apdifflemf.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
apdifflemf.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
apdifflemf.qr (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ < ๐‘…)
apdifflemf.ap (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด)
Assertion
Ref Expression
apdifflemf (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))

Proof of Theorem apdifflemf
StepHypRef Expression
1 apdifflemf.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21recnd 7999 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 apdifflemf.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
4 qcn 9647 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
62, 5subcld 8281 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
76adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
87abscld 11203 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„)
9 apdifflemf.q . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
10 qcn 9647 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
119, 10syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
122, 11subcld 8281 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1312abscld 11203 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆˆ โ„)
1413adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆˆ โ„)
15 qre 9638 . . . . . . . . . 10 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
169, 15syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
181adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
19 qaddcl 9648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘… โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
209, 3, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
21 qre 9638 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
2322rehalfcld 9178 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„)
25 apdifflemf.qr . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ < ๐‘…)
26 qre 9638 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
273, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
28 avglt1 9170 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)))
2916, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)))
3025, 29mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
3130adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด)
3317, 24, 18, 31, 32lttrd 8096 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ < ๐ด)
3417, 18, 33ltled 8089 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ โ‰ค ๐ด)
3517, 18, 34abssubge0d 11198 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„))
3635oveq2d 5904 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = (๐‘… โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘„)))
375adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
382adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3911adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
4037, 38, 39subsub3d 8311 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘„)) = ((๐‘… + ๐‘„) โˆ’ ๐ด))
4137, 39addcomd 8121 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘…))
4241oveq1d 5903 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘… + ๐‘„) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด))
4336, 40, 423eqtrd 2224 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด))
4422adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
45 2rp 9671 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„+
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
4744, 18, 46ltdivmuld 9761 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โ†” (๐‘„ + ๐‘…) < (2 ยท ๐ด)))
4832, 47mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) < (2 ยท ๐ด))
49382timesd 9174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
5048, 49breqtrd 4041 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) < (๐ด + ๐ด))
5144, 18, 18ltsubaddd 8511 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด) < ๐ด โ†” (๐‘„ + ๐‘…) < (๐ด + ๐ด)))
5250, 51mpbird 167 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด) < ๐ด)
5343, 52eqbrtrd 4037 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) < ๐ด)
5425adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ < ๐‘…)
5527adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
56 difrp 9705 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„+))
5717, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„+))
5854, 57mpbid 147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„+)
5918, 58ltaddrpd 9743 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด < (๐ด + (๐‘… โˆ’ ๐‘„)))
6035oveq2d 5904 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = (๐‘… + (๐ด โˆ’ ๐‘„)))
6137, 38, 39addsub12d 8304 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + (๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด + (๐‘… โˆ’ ๐‘„)))
6260, 61eqtrd 2220 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = (๐ด + (๐‘… โˆ’ ๐‘„)))
6359, 62breqtrrd 4043 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด < (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))))
6418, 55, 14absdifltd 11200 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) < (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†” ((๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) < ๐ด โˆง ๐ด < (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))))))
6553, 63, 64mpbir2and 945 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) < (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)))
668, 14, 65gtapd 8607 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
6713adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆˆ โ„)
686adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
6968abscld 11203 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„)
7011, 5, 2subsubd 8309 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) = ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด))
7116, 27sublt0d 8540 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0 โ†” ๐‘„ < ๐‘…))
7225, 71mpbird 167 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0)
7316, 27resubcld 8351 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
74 ltaddnegr 8395 . . . . . . . . 9 (((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0 โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด) < ๐ด))
7573, 1, 74syl2anc 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0 โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด) < ๐ด))
7672, 75mpbid 147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด) < ๐ด)
7770, 76eqbrtrd 4037 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) < ๐ด)
7877adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) < ๐ด)
791adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8022adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
81 simpr 110 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
8279, 79, 80, 81, 81lt2halvesd 9179 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐ด + ๐ด) < (๐‘„ + ๐‘…))
8379, 79, 80ltaddsub2d 8516 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐ด + ๐ด) < (๐‘„ + ๐‘…) โ†” ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด)))
8482, 83mpbid 147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด))
8511adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
865adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
872adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8885, 86, 87addsubassd 8301 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด) = (๐‘„ + (๐‘… โˆ’ ๐ด)))
8984, 88breqtrd 4041 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < (๐‘„ + (๐‘… โˆ’ ๐ด)))
9016adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
9127adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9291, 79resubcld 8351 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐‘… โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
9379, 90, 92absdifltd 11200 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) < (๐‘… โˆ’ ๐ด) โ†” ((๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) < ๐ด โˆง ๐ด < (๐‘„ + (๐‘… โˆ’ ๐ด)))))
9478, 89, 93mpbir2and 945 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) < (๐‘… โˆ’ ๐ด))
9523adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„)
96 avglt2 9171 . . . . . . . . . 10 ((๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…))
9716, 27, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…))
9825, 97mpbid 147 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…)
9998adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…)
10079, 95, 91, 81, 99lttrd 8096 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < ๐‘…)
10179, 91, 100ltled 8089 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘…)
10279, 91, 101abssuble0d 11199 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐‘… โˆ’ ๐ด))
10394, 102breqtrrd 4043 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) < (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
10467, 69, 103ltapd 8608 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
105 apdifflemf.ap . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด)
106 reaplt 8558 . . . 4 ((((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด โ†” (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โˆจ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))))
10723, 1, 106syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด โ†” (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โˆจ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))))
108105, 107mpbid 147 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โˆจ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)))
10966, 104, 108mpjaodan 799 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  โ„cr 7823  0cc0 7824   + caddc 7827   ยท cmul 7829   < clt 8005   โˆ’ cmin 8141   # cap 8551   / cdiv 8642  2c2 8983  โ„šcq 9632  โ„+crp 9666  abscabs 11019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021
This theorem is referenced by:  apdiff  15068
  Copyright terms: Public domain W3C validator