Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  apdifflemf GIF version

Theorem apdifflemf 14797
Description: Lemma for apdiff 14799. Being apart from the point halfway between ๐‘„ and ๐‘… suffices for ๐ด to be a different distance from ๐‘„ and from ๐‘…. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
apdifflemf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
apdifflemf.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
apdifflemf.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
apdifflemf.qr (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ < ๐‘…)
apdifflemf.ap (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด)
Assertion
Ref Expression
apdifflemf (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))

Proof of Theorem apdifflemf
StepHypRef Expression
1 apdifflemf.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21recnd 7986 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 apdifflemf.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
4 qcn 9634 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
62, 5subcld 8268 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
76adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
87abscld 11190 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„)
9 apdifflemf.q . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
10 qcn 9634 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
119, 10syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
122, 11subcld 8268 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1312abscld 11190 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆˆ โ„)
1413adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆˆ โ„)
15 qre 9625 . . . . . . . . . 10 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
169, 15syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1716adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
181adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
19 qaddcl 9635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘… โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
209, 3, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
21 qre 9625 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
2322rehalfcld 9165 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„)
25 apdifflemf.qr . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ < ๐‘…)
26 qre 9625 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
273, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
28 avglt1 9157 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)))
2916, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)))
3025, 29mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
3130adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
32 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด)
3317, 24, 18, 31, 32lttrd 8083 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ < ๐ด)
3417, 18, 33ltled 8076 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ โ‰ค ๐ด)
3517, 18, 34abssubge0d 11185 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„))
3635oveq2d 5891 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = (๐‘… โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘„)))
375adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
382adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3911adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
4037, 38, 39subsub3d 8298 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (๐ด โˆ’ ๐‘„)) = ((๐‘… + ๐‘„) โˆ’ ๐ด))
4137, 39addcomd 8108 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + ๐‘„) = (๐‘„ + ๐‘…))
4241oveq1d 5890 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘… + ๐‘„) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด))
4336, 40, 423eqtrd 2214 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด))
4422adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
45 2rp 9658 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„+
4645a1i 9 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
4744, 18, 46ltdivmuld 9748 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โ†” (๐‘„ + ๐‘…) < (2 ยท ๐ด)))
4832, 47mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) < (2 ยท ๐ด))
49382timesd 9161 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
5048, 49breqtrd 4030 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) < (๐ด + ๐ด))
5144, 18, 18ltsubaddd 8498 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด) < ๐ด โ†” (๐‘„ + ๐‘…) < (๐ด + ๐ด)))
5250, 51mpbird 167 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด) < ๐ด)
5343, 52eqbrtrd 4026 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) < ๐ด)
5425adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘„ < ๐‘…)
5527adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
56 difrp 9692 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„+))
5717, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„+))
5854, 57mpbid 147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„+)
5918, 58ltaddrpd 9730 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด < (๐ด + (๐‘… โˆ’ ๐‘„)))
6035oveq2d 5891 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = (๐‘… + (๐ด โˆ’ ๐‘„)))
6137, 38, 39addsub12d 8291 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + (๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด + (๐‘… โˆ’ ๐‘„)))
6260, 61eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) = (๐ด + (๐‘… โˆ’ ๐‘„)))
6359, 62breqtrrd 4032 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ๐ด < (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))))
6418, 55, 14absdifltd 11187 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) < (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†” ((๐‘… โˆ’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))) < ๐ด โˆง ๐ด < (๐‘… + (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„))))))
6553, 63, 64mpbir2and 944 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) < (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)))
668, 14, 65gtapd 8594 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
6713adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆˆ โ„)
686adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
6968abscld 11190 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„)
7011, 5, 2subsubd 8296 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) = ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด))
7116, 27sublt0d 8527 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0 โ†” ๐‘„ < ๐‘…))
7225, 71mpbird 167 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0)
7316, 27resubcld 8338 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
74 ltaddnegr 8382 . . . . . . . . 9 (((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0 โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด) < ๐ด))
7573, 1, 74syl2anc 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) < 0 โ†” ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด) < ๐ด))
7672, 75mpbid 147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ โˆ’ ๐‘…) + ๐ด) < ๐ด)
7770, 76eqbrtrd 4026 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) < ๐ด)
7877adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) < ๐ด)
791adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8022adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„)
81 simpr 110 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
8279, 79, 80, 81, 81lt2halvesd 9166 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐ด + ๐ด) < (๐‘„ + ๐‘…))
8379, 79, 80ltaddsub2d 8503 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐ด + ๐ด) < (๐‘„ + ๐‘…) โ†” ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด)))
8482, 83mpbid 147 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด))
8511adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
865adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
872adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8885, 86, 87addsubassd 8288 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) โˆ’ ๐ด) = (๐‘„ + (๐‘… โˆ’ ๐ด)))
8984, 88breqtrd 4030 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < (๐‘„ + (๐‘… โˆ’ ๐ด)))
9016adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
9127adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9291, 79resubcld 8338 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (๐‘… โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
9379, 90, 92absdifltd 11187 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) < (๐‘… โˆ’ ๐ด) โ†” ((๐‘„ โˆ’ (๐‘… โˆ’ ๐ด)) < ๐ด โˆง ๐ด < (๐‘„ + (๐‘… โˆ’ ๐ด)))))
9478, 89, 93mpbir2and 944 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) < (๐‘… โˆ’ ๐ด))
9523adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„)
96 avglt2 9158 . . . . . . . . . 10 ((๐‘„ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…))
9716, 27, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ < ๐‘… โ†” ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…))
9825, 97mpbid 147 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…)
9998adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐‘…)
10079, 95, 91, 81, 99lttrd 8083 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด < ๐‘…)
10179, 91, 100ltled 8076 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘…)
10279, 91, 101abssuble0d 11186 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐‘… โˆ’ ๐ด))
10394, 102breqtrrd 4032 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) < (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
10467, 69, 103ltapd 8595 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
105 apdifflemf.ap . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด)
106 reaplt 8545 . . . 4 ((((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด โ†” (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โˆจ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))))
10723, 1, 106syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) # ๐ด โ†” (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โˆจ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))))
108105, 107mpbid 147 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ + ๐‘…) / 2) < ๐ด โˆจ ๐ด < ((๐‘„ + ๐‘…) / 2)))
10966, 104, 108mpjaodan 798 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  โ„šcq 9619  โ„+crp 9653  abscabs 11006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008
This theorem is referenced by:  apdiff  14799
  Copyright terms: Public domain W3C validator