Theorem ringideu 13516

Description: The unity element of a ring is unique. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringideu	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢, · ,𝑥

Proof of Theorem ringideu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 13501	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	mndideu 13010	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
7		ringcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 13425	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringcl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	1, 9	mgpplusgg 13423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	oveqd 5936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑢 · 𝑥) = (𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
12	11	eqeq1d 2202	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
13	10	oveqd 5936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 · 𝑢) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢))
14	13	eqeq1d 2202	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 · 𝑢) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
16	8, 15	raleqbidv 2706	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
17	16	reubidv 2678	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
18		reueq1 2692	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
19	8, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
20	17, 19	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
21	6, 20	mpbird 167	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃!wreu 2474  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  Mndcmnd 13000  mulGrpcmgp 13419  Ringcrg 13495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-mgp 13420  df-ring 13497

This theorem is referenced by:  isringid  13524