Theorem ringideu 13651

Description: The unity element of a ring is unique. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringideu	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢, · ,𝑥

Proof of Theorem ringideu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 13636	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	mndideu 13130	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
6	2, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
7		ringcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 13560	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		ringcl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10	1, 9	mgpplusgg 13558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
11	10	oveqd 5942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑢 · 𝑥) = (𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
12	11	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
13	10	oveqd 5942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 · 𝑢) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢))
14	13	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 · 𝑢) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
16	8, 15	raleqbidv 2709	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
17	16	reubidv 2681	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
18		reueq1 2695	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
19	8, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
20	17, 19	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
21	6, 20	mpbird 167	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃!wreu 2477  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  +_gcplusg 12782  ._rcmulr 12783  Mndcmnd 13120  mulGrpcmgp 13554  Ringcrg 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-mgp 13555  df-ring 13632

This theorem is referenced by:  isringid  13659