Theorem srgideu 12948

Description: The unit element of a semiring is unique. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgideu	⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝐵   𝑢,𝑅,𝑥   𝑢, · ,𝑥

Proof of Theorem srgideu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2175	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	srgmgp 12944	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		eqid 2175	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2175	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
5	3, 4	mndideu 12692	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
6	2, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
7		srgcl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	1, 7	mgpplusgg 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
9	8	oveqd 5882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑢 · 𝑥) = (𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
10	9	eqeq1d 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
11	8	oveqd 5882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑥 · 𝑢) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢))
12	11	eqeq1d 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑥 · 𝑢) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥))
13	10, 12	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
14	13	ralbidv 2475	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
15	14	reubidv 2658	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑢) = 𝑥)))
16	6, 15	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥))
17		srgcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18	1, 17	mgpbasg 12930	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
19		raleq 2670	. . . 4 ⊢ (𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥)))
20	19	reueqd 2680	. . 3 ⊢ (𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥)))
21	18, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥) ↔ ∃!𝑢 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥)))
22	16, 21	mpbird 167	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑢) = 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  ∃!wreu 2455  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  Basecbs 12428  +_gcplusg 12492  ._rcmulr 12493  Mndcmnd 12682  mulGrpcmgp 12925  SRingcsrg 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-0g 12628  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-mgp 12926  df-srg 12940

This theorem is referenced by:  issrgid  12957