Theorem qbtwnxr 10694

Description: The rational numbers are dense in ℝ^*: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnxr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		elxr 10180	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3		qbtwnre 10693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
4	3	3expia 1236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
5		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		peano2re 8462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
8		ltp1 9175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
10		qbtwnre 10693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
12		qre 10027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
13		ltpnf 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 < +∞)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < +∞)
16		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 = +∞)
17	15, 16	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < 𝐵)
18	17	a1d 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < (𝐴 + 1) → 𝑥 < 𝐵))
19	18	anim2d 337	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
20	19	reximdva 2652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
21	11, 20	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
22	21	a1d 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
23		rexr 8371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		breq2 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
25	24	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < -∞))
26		nltmnf 10192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
27	26	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
28	27	pm2.21d 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
29	25, 28	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
30	23, 29	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
31	4, 22, 30	3jaodan 1347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
32	2, 31	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
33		breq1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
34	33	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
35		pnfnlt 10191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
36	35	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
37	36	pm2.21d 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
38	34, 37	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
39		peano2rem 8593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
40	39	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
41		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
42		ltm1 9177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
43	42	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
44		qbtwnre 10693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
45	40, 41, 43, 44	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
46		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 = -∞)
47	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		mnflt 10187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
49	47, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → -∞ < 𝑥)
50	46, 49	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 < 𝑥)
51	50	a1d 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐵 − 1) < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥))
52	51	anim1d 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐵 − 1) < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
53	52	reximdva 2652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
54	45, 53	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
55	54	a1d 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
56		1re 8325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		mnflt 10187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < 1
59		breq1 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 1 ↔ -∞ < 1))
60	58, 59	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 < 1)
61		ltpnf 10184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
62	56, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < +∞
63		breq2 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
64	62, 63	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
65		1z 9672	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
66		zq 10028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℚ
68		breq2 4134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 1))
69		breq1 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
70	68, 69	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)))
71	70	rspcev 2929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
72	67, 71	mpan 428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
73	60, 64, 72	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
74	73	a1d 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
75		3mix3 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	75, 1	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
77	76, 29	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
78	55, 74, 77	3jaodan 1347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
79	2, 78	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
80	32, 38, 79	3jaoian 1346	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
81	1, 80	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
82	81	3impia 1231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1008   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8178  1c1 8180   + caddc 8182  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   − cmin 8497  ℤcz 9646  ℚcq 10021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057

This theorem is used by:  ioo0  10696  ioom  10697  ico0  10698  ioc0  10699  blssps  15530  blss  15531  tgqioo  15658