ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnxr GIF version

Theorem qbtwnxr 9572
Description: The rational numbers are dense in *: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnxr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnxr
StepHypRef Expression
1 elxr 9156 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 9156 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 qbtwnre 9571 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
433expia 1143 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5 simpl 107 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 peano2re 7539 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
76adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
8 ltp1 8217 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
98adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
10 qbtwnre 9571 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1172 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
12 qre 9019 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
13 ltpnf 9160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 < +∞)
1514adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < +∞)
16 simplr 497 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 = +∞)
1715, 16breqtrrd 3840 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < 𝐵)
1817a1d 22 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < (𝐴 + 1) → 𝑥 < 𝐵))
1918anim2d 330 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2019reximdva 2471 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2111, 20mpd 13 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
2221a1d 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
23 rexr 7454 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 breq2 3818 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2524adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
26 nltmnf 9167 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2726adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2827pm2.21d 582 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2925, 28sylbid 148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3023, 29sylan 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
314, 22, 303jaodan 1240 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
322, 31sylan2b 281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
33 breq1 3817 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
3433adantr 270 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
35 pnfnlt 9166 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3635adantl 271 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3736pm2.21d 582 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3834, 37sylbid 148 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
39 peano2rem 7670 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
4039adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
41 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
42 ltm1 8219 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
4342adantl 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
44 qbtwnre 9571 . . . . . . . . 9 (((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1172 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
46 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 = -∞)
4712adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 mnflt 9162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → -∞ < 𝑥)
5046, 49eqbrtrd 3834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 < 𝑥)
5150a1d 22 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐵 − 1) < 𝑥𝐴 < 𝑥))
5251anim1d 329 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5352reximdva 2471 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5445, 53mpd 13 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
5554a1d 22 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
56 1re 7408 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
57 mnflt 9162 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5856, 57ax-mp 7 . . . . . . . . 9 -∞ < 1
59 breq1 3817 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 1 ↔ -∞ < 1))
6058, 59mpbiri 166 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → 𝐴 < 1)
61 ltpnf 9160 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
6256, 61ax-mp 7 . . . . . . . . 9 1 < +∞
63 breq2 3818 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
6462, 63mpbiri 166 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
65 1z 8686 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
66 zq 9020 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
6765, 66ax-mp 7 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℚ
68 breq2 3818 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 1))
69 breq1 3817 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
7068, 69anbi12d 457 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)))
7170rspcev 2714 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7267, 71mpan 415 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7360, 64, 72syl2an 283 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7473a1d 22 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
75 3mix3 1112 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7675, 1sylibr 132 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7776, 29sylan 277 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7855, 74, 773jaodan 1240 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
792, 78sylan2b 281 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
8032, 38, 793jaoian 1239 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
811, 80sylanb 278 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
82813impia 1138 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3o 921  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  cr 7270  1c1 7272   + caddc 7274  +∞cpnf 7440  -∞cmnf 7441  *cxr 7442   < clt 7443  cmin 7574  cz 8660  cq 9013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044
This theorem is referenced by:  ioo0  9574  ioom  9575  ico0  9576  ioc0  9577
  Copyright terms: Public domain W3C validator