Theorem mpteq2dv 4175

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpteq2dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpteq2dv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem mpteq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq2dv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
3	2	mpteq2dva 4174	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ↦ cmpt 4145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-ral 2513  df-opab 4146  df-mpt 4147

This theorem is referenced by:  ofeqd  6226  ofeq  6227  rdgeq1  6523  rdgeq2  6524  omv  6609  oeiv  6610  0tonninf  10674  1tonninf  10675  iseqf1olemjpcl  10742  iseqf1olemqpcl  10743  iseqf1olemfvp  10744  seq3f1olemqsum  10747  seq3f1olemp  10749  summodc  11909  zsumdc  11910  fsum3  11913  prodeq2w  12082  prodmodc  12104  zproddc  12105  fprodseq  12109  nninfctlemfo  12576  1arithlem1  12901  sloteq  13052  prdsplusgval  13331  prdsmulrval  13333  qusex  13373  grplactfval  13649  cnprcl2k  14895  fsumcncntop  15256  expcn  15258  expcncf  15298  dvexp  15400  dvexp2  15401  dvmptfsum  15414  elply2  15424  elplyr  15429  elplyd  15430  plycolemc  15447  dvply2g  15455  lgsval  15698  incistruhgr  15905  peano4nninf  16432  peano3nninf  16433  nninfalllem1  16434  nninfsellemdc  16436  nninfsellemeq  16440  nninfsellemqall  16441  nninfsellemeqinf  16442  nninfomni  16445  nnnninfex  16448