Theorem mpteq2dv 4180

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpteq2dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpteq2dv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem mpteq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq2dv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
3	2	mpteq2dva 4179	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ↦ cmpt 4150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2515  df-opab 4151  df-mpt 4152

This theorem is referenced by:  ofeqd  6236  ofeq  6237  rdgeq1  6536  rdgeq2  6537  omv  6622  oeiv  6623  0tonninf  10701  1tonninf  10702  iseqf1olemjpcl  10769  iseqf1olemqpcl  10770  iseqf1olemfvp  10771  seq3f1olemqsum  10774  seq3f1olemp  10776  summodc  11943  zsumdc  11944  fsum3  11947  prodeq2w  12116  prodmodc  12138  zproddc  12139  fprodseq  12143  nninfctlemfo  12610  1arithlem1  12935  sloteq  13086  prdsplusgval  13365  prdsmulrval  13367  qusex  13407  grplactfval  13683  cnprcl2k  14929  fsumcncntop  15290  expcn  15292  expcncf  15332  dvexp  15434  dvexp2  15435  dvmptfsum  15448  elply2  15458  elplyr  15463  elplyd  15464  plycolemc  15481  dvply2g  15489  lgsval  15732  incistruhgr  15940  peano4nninf  16608  peano3nninf  16609  nninfalllem1  16610  nninfsellemdc  16612  nninfsellemeq  16616  nninfsellemqall  16617  nninfsellemeqinf  16618  nninfomni  16621  nnnninfex  16624