Theorem mpteq2dv 4180

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpteq2dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpteq2dv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem mpteq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq2dv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
3	2	mpteq2dva 4179	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ↦ cmpt 4150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2515  df-opab 4151  df-mpt 4152

This theorem is referenced by:  ofeqd  6237  ofeq  6238  rdgeq1  6537  rdgeq2  6538  omv  6623  oeiv  6624  0tonninf  10703  1tonninf  10704  iseqf1olemjpcl  10771  iseqf1olemqpcl  10772  iseqf1olemfvp  10773  seq3f1olemqsum  10776  seq3f1olemp  10778  summodc  11962  zsumdc  11963  fsum3  11966  prodeq2w  12135  prodmodc  12157  zproddc  12158  fprodseq  12162  nninfctlemfo  12629  1arithlem1  12954  sloteq  13105  prdsplusgval  13384  prdsmulrval  13386  qusex  13426  grplactfval  13702  cnprcl2k  14949  fsumcncntop  15310  expcn  15312  expcncf  15352  dvexp  15454  dvexp2  15455  dvmptfsum  15468  elply2  15478  elplyr  15483  elplyd  15484  plycolemc  15501  dvply2g  15509  lgsval  15752  incistruhgr  15960  peano4nninf  16659  peano3nninf  16660  nninfalllem1  16661  nninfsellemdc  16663  nninfsellemeq  16667  nninfsellemqall  16668  nninfsellemeqinf  16669  nninfomni  16672  nnnninfex  16675  gfsumsn  16737