Theorem mpteq2dv 4185

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpteq2dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpteq2dv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem mpteq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq2dv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
3	2	mpteq2dva 4184	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ↦ cmpt 4155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2516  df-opab 4156  df-mpt 4157

This theorem is referenced by:  ofeqd  6246  ofeq  6247  rdgeq1  6580  rdgeq2  6581  omv  6666  oeiv  6667  0tonninf  10748  1tonninf  10749  iseqf1olemjpcl  10816  iseqf1olemqpcl  10817  iseqf1olemfvp  10818  seq3f1olemqsum  10821  seq3f1olemp  10823  summodc  12007  zsumdc  12008  fsum3  12011  prodeq2w  12180  prodmodc  12202  zproddc  12203  fprodseq  12207  nninfctlemfo  12674  1arithlem1  12999  sloteq  13150  prdsplusgval  13429  prdsmulrval  13431  qusex  13471  grplactfval  13747  cnprcl2k  15000  fsumcncntop  15361  expcn  15363  expcncf  15403  dvexp  15505  dvexp2  15506  dvmptfsum  15519  elply2  15529  elplyr  15534  elplyd  15535  plycolemc  15552  dvply2g  15560  lgsval  15806  incistruhgr  16014  peano4nninf  16715  peano3nninf  16716  nninfalllem1  16717  nninfsellemdc  16719  nninfsellemeq  16723  nninfsellemqall  16724  nninfsellemeqinf  16725  nninfomni  16728  nnnninfex  16731  gfsumsn  16797