Theorem mpteq2dv 4178

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpteq2dv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpteq2dv	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem mpteq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq2dv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
3	2	mpteq2dva 4177	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ↦ cmpt 4148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-ral 2513  df-opab 4149  df-mpt 4150

This theorem is referenced by:  ofeqd  6232  ofeq  6233  rdgeq1  6532  rdgeq2  6533  omv  6618  oeiv  6619  0tonninf  10692  1tonninf  10693  iseqf1olemjpcl  10760  iseqf1olemqpcl  10761  iseqf1olemfvp  10762  seq3f1olemqsum  10765  seq3f1olemp  10767  summodc  11934  zsumdc  11935  fsum3  11938  prodeq2w  12107  prodmodc  12129  zproddc  12130  fprodseq  12134  nninfctlemfo  12601  1arithlem1  12926  sloteq  13077  prdsplusgval  13356  prdsmulrval  13358  qusex  13398  grplactfval  13674  cnprcl2k  14920  fsumcncntop  15281  expcn  15283  expcncf  15323  dvexp  15425  dvexp2  15426  dvmptfsum  15439  elply2  15449  elplyr  15454  elplyd  15455  plycolemc  15472  dvply2g  15480  lgsval  15723  incistruhgr  15931  peano4nninf  16544  peano3nninf  16545  nninfalllem1  16546  nninfsellemdc  16548  nninfsellemeq  16552  nninfsellemqall  16553  nninfsellemeqinf  16554  nninfomni  16557  nnnninfex  16560