Theorem iseqf1olemjpcl 10497

Description: Lemma for seq3f1o 10506. A closure lemma involving 𝐽 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemjpcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3086	. . . 4 ⊢ ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝐽 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemqf.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		f1of 5463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		elfzel1 10026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		elfzel2 10025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12		fex 5747	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝐽 ∈ V)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
14		nfcvd 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
15		fveq1 5516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → (𝑓‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
16	15	fveq2d 5521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝐽‘𝑥)))
17	16	ifeq1d 3553	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
18	17	mpteq2dv 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	14, 18	csbiegf 3102	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ V → ⦋𝐽 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	13, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐽 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21	2, 20	eqtrid 2222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
22		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐽‘𝑥) → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘(𝐽‘𝑥)))
23	22	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐽‘𝑥) → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐽‘𝑥)) ∈ 𝑆))
24		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	24	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
26		fveq2 5517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑎))
27	26	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆))
28	27	cbvralv 2705	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
29	25, 28	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
32		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		elfz5 10019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
37	32, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
38	31, 37	ffvelcdmd 5654	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐽‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
39		elfzuz 10023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40	38, 39	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐽‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41	23, 30, 40	rspcdva 2848	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘(𝐽‘𝑥)) ∈ 𝑆)
42		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑀))
43	42	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆))
44	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
45	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
46		uzid 9544	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	43, 44, 47	rspcdva 2848	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆)
49		eluzelz 9539	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
50		zdcle 9331	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
51	49, 10, 50	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
52	41, 48, 51	ifcldadc 3565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
53	21, 52	fvmpt2d 5604	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
54	53, 52	eqeltrd 2254	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2739  ⦋csb 3059  ifcif 3536   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  ^◡ccnv 4627  ⟶wf 5214  –1-1-onto→wf1o 5217  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Fincfn 6742  1c1 7814   ≤ cle 7995   − cmin 8130  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-er 6537  df-en 6743  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10500  seq3f1olemqsumk  10501  seq3f1olemqsum  10502