ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemjpcl GIF version

Theorem iseqf1olemjpcl 10161
Description: Lemma for seq3f1o 10170. A closure lemma involving 𝐽 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemjpcl ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemjpcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
21csbeq2i 2995 . . . 4 𝐽 / 𝑓𝑃 = 𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
3 iseqf1olemqf.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 f1of 5323 . . . . . . 7 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6 iseqf1olemqf.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7 elfzel1 9698 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 elfzel2 9697 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
106, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
118, 10fzfigd 10097 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12 fex 5601 . . . . . 6 ((𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝐽 ∈ V)
135, 11, 12syl2anc 406 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
14 nfcvd 2256 . . . . . 6 (𝐽 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
15 fveq1 5374 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐽 → (𝑓𝑥) = (𝐽𝑥))
1615fveq2d 5379 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐽 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝐽𝑥)))
1716ifeq1d 3455 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐽 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)))
1817mpteq2dv 3979 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐽 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
1914, 18csbiegf 3009 . . . . 5 (𝐽 ∈ V → 𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
2013, 19syl 14 . . . 4 (𝜑𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
212, 20syl5eq 2159 . . 3 (𝜑𝐽 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
22 fveq2 5375 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐽𝑥) → (𝐺𝑎) = (𝐺‘(𝐽𝑥)))
2322eleq1d 2183 . . . . 5 (𝑎 = (𝐽𝑥) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐽𝑥)) ∈ 𝑆))
24 iseqf1olemjpcl.g . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
2524ralrimiva 2479 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
26 fveq2 5375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑎))
2726eleq1d 2183 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑎) ∈ 𝑆))
2827cbvralv 2628 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
2925, 28sylib 121 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
3029ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
315ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
32 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
33 simplr 502 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3410ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
35 elfz5 9691 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3633, 34, 35syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3732, 36mpbird 166 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3831, 37ffvelrnd 5510 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐽𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
39 elfzuz 9695 . . . . . 6 ((𝐽𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4038, 39syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐽𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4123, 30, 40rspcdva 2765 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐺‘(𝐽𝑥)) ∈ 𝑆)
42 fveq2 5375 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑀))
4342eleq1d 2183 . . . . 5 (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑀) ∈ 𝑆))
4429ad2antrr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
458ad2antrr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
46 uzid 9242 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4745, 46syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4843, 44, 47rspcdva 2765 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
49 eluzelz 9237 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
50 zdcle 9031 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑁)
5149, 10, 50syl2anr 286 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥𝑁)
5241, 48, 51ifcldadc 3467 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
5321, 52fvmpt2d 5461 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)))
5453, 52eqeltrd 2191 1 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 802   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  Vcvv 2657  csb 2971  ifcif 3440   class class class wbr 3895  cmpt 3949  ccnv 4498  wf 5077  1-1-ontowf1o 5080  cfv 5081  (class class class)co 5728  Fincfn 6588  1c1 7548  cle 7725  cmin 7856  cz 8958  cuz 9228  ...cfz 9683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-er 6383  df-en 6589  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10164  seq3f1olemqsumk  10165  seq3f1olemqsum  10166
  Copyright terms: Public domain W3C validator