Theorem iseqf1olemjpcl 10579

Description: Lemma for seq3f1o 10588. A closure lemma involving 𝐽 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemjpcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3107	. . . 4 ⊢ ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝐽 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemqf.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		f1of 5500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		elfzel1 10090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		elfzel2 10089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10502	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12		fex 5787	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝐽 ∈ V)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
14		nfcvd 2337	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
15		fveq1 5553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → (𝑓‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
16	15	fveq2d 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝐽‘𝑥)))
17	16	ifeq1d 3574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
18	17	mpteq2dv 4120	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐽 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	14, 18	csbiegf 3124	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ V → ⦋𝐽 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	13, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐽 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21	2, 20	eqtrid 2238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
22		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐽‘𝑥) → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘(𝐽‘𝑥)))
23	22	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐽‘𝑥) → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐽‘𝑥)) ∈ 𝑆))
24		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25	24	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
26		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑎))
27	26	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆))
28	27	cbvralv 2726	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
29	25, 28	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
30	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
32		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
33		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		elfz5 10083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
36	33, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
37	32, 36	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
38	31, 37	ffvelcdmd 5694	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐽‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
39		elfzuz 10087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40	38, 39	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐽‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41	23, 30, 40	rspcdva 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘(𝐽‘𝑥)) ∈ 𝑆)
42		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑀))
43	42	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆))
44	29	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
45	8	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
46		uzid 9606	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47	45, 46	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	43, 44, 47	rspcdva 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆)
49		eluzelz 9601	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
50		zdcle 9393	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
51	49, 10, 50	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
52	41, 48, 51	ifcldadc 3586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
53	21, 52	fvmpt2d 5644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝐽‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
54	53, 52	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝐽 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760  ⦋csb 3080  ifcif 3557   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ^◡ccnv 4658  ⟶wf 5250  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Fincfn 6794  1c1 7873   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583  seq3f1olemqsum  10584