Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemjpcl GIF version

Theorem iseqf1olemjpcl 10319
 Description: Lemma for seq3f1o 10328. A closure lemma involving 𝐽 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemjpcl ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemjpcl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemjpcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
21csbeq2i 3035 . . . 4 𝐽 / 𝑓𝑃 = 𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
3 iseqf1olemqf.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 f1of 5376 . . . . . . 7 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6 iseqf1olemqf.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7 elfzel1 9856 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 elfzel2 9855 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
106, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
118, 10fzfigd 10255 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12 fex 5656 . . . . . 6 ((𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝐽 ∈ V)
135, 11, 12syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
14 nfcvd 2283 . . . . . 6 (𝐽 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
15 fveq1 5429 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐽 → (𝑓𝑥) = (𝐽𝑥))
1615fveq2d 5434 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐽 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝐽𝑥)))
1716ifeq1d 3495 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐽 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)))
1817mpteq2dv 4028 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐽 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
1914, 18csbiegf 3049 . . . . 5 (𝐽 ∈ V → 𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
2013, 19syl 14 . . . 4 (𝜑𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
212, 20syl5eq 2185 . . 3 (𝜑𝐽 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
22 fveq2 5430 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐽𝑥) → (𝐺𝑎) = (𝐺‘(𝐽𝑥)))
2322eleq1d 2209 . . . . 5 (𝑎 = (𝐽𝑥) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐽𝑥)) ∈ 𝑆))
24 iseqf1olemjpcl.g . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
2524ralrimiva 2509 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
26 fveq2 5430 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑎))
2726eleq1d 2209 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑎) ∈ 𝑆))
2827cbvralv 2658 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
2925, 28sylib 121 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
3029ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
315ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
32 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
33 simplr 520 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3410ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
35 elfz5 9849 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3633, 34, 35syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3732, 36mpbird 166 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3831, 37ffvelrnd 5565 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐽𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
39 elfzuz 9853 . . . . . 6 ((𝐽𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4038, 39syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐽𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4123, 30, 40rspcdva 2799 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐺‘(𝐽𝑥)) ∈ 𝑆)
42 fveq2 5430 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑀))
4342eleq1d 2209 . . . . 5 (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑀) ∈ 𝑆))
4429ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
458ad2antrr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
46 uzid 9384 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4745, 46syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4843, 44, 47rspcdva 2799 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
49 eluzelz 9379 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
50 zdcle 9171 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑁)
5149, 10, 50syl2anr 288 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥𝑁)
5241, 48, 51ifcldadc 3507 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
5321, 52fvmpt2d 5516 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)))
5453, 52eqeltrd 2217 1 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  Vcvv 2690  ⦋csb 3008  ifcif 3480   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998  ◡ccnv 4547  ⟶wf 5128  –1-1-onto→wf1o 5131  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  Fincfn 6643  1c1 7665   ≤ cle 7845   − cmin 7977  ℤcz 9098  ℤ≥cuz 9370  ...cfz 9841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-1o 6322  df-er 6438  df-en 6644  df-fin 6646  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-fz 9842 This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10322  seq3f1olemqsumk  10323  seq3f1olemqsum  10324
 Copyright terms: Public domain W3C validator