Theorem iseqf1olemfvp 10483

Description: Lemma for seq3f1o 10490. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemfvp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemfvp.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemfvp	⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑓,𝐺,𝑥   𝑥,𝐾   𝑓,𝑀,𝑥   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑓,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemfvp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3084	. . . 4 ⊢ ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemfvp.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		f1of 5457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemfvp.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		elfzel1 10010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		elfzel2 10009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12		fex 5741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
14		nfcvd 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
15		fveq1 5510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑓‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
16	15	fveq2d 5515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	ifeq1d 3551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
18	17	mpteq2dv 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	14, 18	csbiegf 3100	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	13, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21	2, 20	eqtrid 2222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
23	22	breq1d 4010	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
24	22	fveq2d 5515	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
25	24	fveq2d 5515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐺‘(𝑇‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
26	23, 25	ifbieq1d 3556	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
27		iseqf1olemfvp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
28		elfzuz 10007	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	27, 28	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		elfzle2 10014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁)
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
32	31	iftrued 3541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
33		fveq2 5511	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
34	33	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆))
35		iseqf1olemfvp.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
36	35	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
37	5, 27	ffvelcdmd 5648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
38		elfzuz 10007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40	34, 36, 39	rspcdva 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆)
41	32, 40	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
42	21, 26, 29, 41	fvmptd 5593	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
43	42, 32	eqtrd 2210	1 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ⦋csb 3057  ifcif 3534   class class class wbr 4000   ↦ cmpt 4061  ⟶wf 5208  –1-1-onto→wf1o 5211  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734   ≤ cle 7983  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10484  seq3f1olemqsumk  10485