ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemfvp GIF version

Theorem iseqf1olemfvp 9922
Description: Lemma for seq3f1o 9929. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemfvp.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.t (𝜑𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemfvp.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemfvp (𝜑 → (𝑇 / 𝑓𝑃𝐴) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑓,𝐺,𝑥   𝑥,𝐾   𝑓,𝑀,𝑥   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑓,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemfvp.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
21csbeq2i 2957 . . . 4 𝑇 / 𝑓𝑃 = 𝑇 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
3 iseqf1olemfvp.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 f1of 5253 . . . . . . 7 (𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6 iseqf1olemfvp.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7 elfzel1 9437 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 elfzel2 9436 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
106, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
118, 10fzfigd 9834 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12 fex 5524 . . . . . 6 ((𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
135, 11, 12syl2anc 403 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ V)
14 nfcvd 2229 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
15 fveq1 5304 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑇 → (𝑓𝑥) = (𝑇𝑥))
1615fveq2d 5309 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑇 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝑇𝑥)))
1716ifeq1d 3408 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑇 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀)))
1817mpteq2dv 3929 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
1914, 18csbiegf 2971 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑇 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
2013, 19syl 14 . . . 4 (𝜑𝑇 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
212, 20syl5eq 2132 . . 3 (𝜑𝑇 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
22 simpr 108 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
2322breq1d 3855 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝑁𝐴𝑁))
2422fveq2d 5309 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐴))
2524fveq2d 5309 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝐺‘(𝑇𝑥)) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
2623, 25ifbieq1d 3413 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)))
27 iseqf1olemfvp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
28 elfzuz 9434 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
2927, 28syl 14 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
30 elfzle2 9440 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴𝑁)
3127, 30syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑁)
3231iftrued 3400 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
33 fveq2 5305 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑇𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
3433eleq1d 2156 . . . . 5 (𝑥 = (𝑇𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑇𝐴)) ∈ 𝑆))
35 iseqf1olemfvp.g . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
3635ralrimiva 2446 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
375, 27ffvelrnd 5435 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
38 elfzuz 9434 . . . . . 6 ((𝑇𝐴) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑇𝐴) ∈ (ℤ𝑀))
3937, 38syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ (ℤ𝑀))
4034, 36, 39rspcdva 2727 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝑇𝐴)) ∈ 𝑆)
4132, 40eqeltrd 2164 . . 3 (𝜑 → if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
4221, 26, 29, 41fvmptd 5385 . 2 (𝜑 → (𝑇 / 𝑓𝑃𝐴) = if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)))
4342, 32eqtrd 2120 1 (𝜑 → (𝑇 / 𝑓𝑃𝐴) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  csb 2933  ifcif 3393   class class class wbr 3845  cmpt 3899  wf 5011  1-1-ontowf1o 5014  cfv 5015  (class class class)co 5652  Fincfn 6455  cle 7521  cz 8748  cuz 9017  ...cfz 9422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  9923  seq3f1olemqsumk  9924
  Copyright terms: Public domain W3C validator