Theorem iseqf1olemfvp 10968

Description: Lemma for seq3f1o 10975. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemfvp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemfvp.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemfvp	⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑓,𝐺,𝑥   𝑥,𝐾   𝑓,𝑀,𝑥   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑓,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝑃(𝑥, 𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemfvp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3174	. . . 4 ⊢ ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemfvp.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		f1of 5642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemfvp.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		elfzel1 10444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		elfzel2 10443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12		fex 5950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
13	5, 11, 12	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
14		nfcvd 2393	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
15		fveq1 5697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑓‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
16	15	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	ifeq1d 3658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
18	17	mpteq2dv 4224	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	14, 18	csbiegf 3191	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	13, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21	2, 20	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
23	22	breq1d 4141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
24	22	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
25	24	fveq2d 5702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐺‘(𝑇‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
26	23, 25	ifbieq1d 3663	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
27		iseqf1olemfvp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
28		elfzuz 10441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	27, 28	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		elfzle2 10449	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁)
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
32	31	iftrued 3647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
33		fveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
34	33	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆))
35		iseqf1olemfvp.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
36	35	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
37	5, 27	ffvelcdmd 5847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
38		elfzuz 10441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40	34, 36, 39	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆)
41	32, 40	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
42	21, 26, 29, 41	fvmptd 5789	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
43	42, 32	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⦋csb 3147  ifcif 3638   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026   ≤ cle 8367  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsumk  10970