Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemfvp GIF version

Theorem iseqf1olemfvp 10263
 Description: Lemma for seq3f1o 10270. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemfvp.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.t (𝜑𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemfvp.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemfvp (𝜑 → (𝑇 / 𝑓𝑃𝐴) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑓,𝐺,𝑥   𝑥,𝐾   𝑓,𝑀,𝑥   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑓,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemfvp.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
21csbeq2i 3024 . . . 4 𝑇 / 𝑓𝑃 = 𝑇 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
3 iseqf1olemfvp.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4 f1of 5360 . . . . . . 7 (𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6 iseqf1olemfvp.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7 elfzel1 9798 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
86, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 elfzel2 9797 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
106, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
118, 10fzfigd 10197 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12 fex 5640 . . . . . 6 ((𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
135, 11, 12syl2anc 408 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ V)
14 nfcvd 2280 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
15 fveq1 5413 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑇 → (𝑓𝑥) = (𝑇𝑥))
1615fveq2d 5418 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑇 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝑇𝑥)))
1716ifeq1d 3484 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑇 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀)))
1817mpteq2dv 4014 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
1914, 18csbiegf 3038 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑇 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
2013, 19syl 14 . . . 4 (𝜑𝑇 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
212, 20syl5eq 2182 . . 3 (𝜑𝑇 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀))))
22 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
2322breq1d 3934 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝑥𝑁𝐴𝑁))
2422fveq2d 5418 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐴))
2524fveq2d 5418 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → (𝐺‘(𝑇𝑥)) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
2623, 25ifbieq1d 3489 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑇𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)))
27 iseqf1olemfvp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
28 elfzuz 9795 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
2927, 28syl 14 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
30 elfzle2 9801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴𝑁)
3127, 30syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑁)
3231iftrued 3476 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
33 fveq2 5414 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑇𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
3433eleq1d 2206 . . . . 5 (𝑥 = (𝑇𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑇𝐴)) ∈ 𝑆))
35 iseqf1olemfvp.g . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
3635ralrimiva 2503 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
375, 27ffvelrnd 5549 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
38 elfzuz 9795 . . . . . 6 ((𝑇𝐴) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑇𝐴) ∈ (ℤ𝑀))
3937, 38syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐴) ∈ (ℤ𝑀))
4034, 36, 39rspcdva 2789 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝑇𝐴)) ∈ 𝑆)
4132, 40eqeltrd 2214 . . 3 (𝜑 → if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
4221, 26, 29, 41fvmptd 5495 . 2 (𝜑 → (𝑇 / 𝑓𝑃𝐴) = if(𝐴𝑁, (𝐺‘(𝑇𝐴)), (𝐺𝑀)))
4342, 32eqtrd 2170 1 (𝜑 → (𝑇 / 𝑓𝑃𝐴) = (𝐺‘(𝑇𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681  ⦋csb 2998  ifcif 3469   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984  ⟶wf 5114  –1-1-onto→wf1o 5117  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  Fincfn 6627   ≤ cle 7794  ℤcz 9047  ℤ≥cuz 9319  ...cfz 9783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784 This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3f1olemqsumk  10265
 Copyright terms: Public domain W3C validator