Theorem iseqf1olemfvp 10692

Description: Lemma for seq3f1o 10699. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemfvp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemfvp.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemfvp.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemfvp	⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑓,𝐺,𝑥   𝑥,𝐾   𝑓,𝑀,𝑥   𝑓,𝑁,𝑥   𝑥,𝑆   𝑇,𝑓,𝑥   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemfvp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemfvp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3128	. . . 4 ⊢ ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemfvp.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4		f1of 5544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
6		iseqf1olemfvp.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		elfzel1 10181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		elfzel2 10180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	8, 10	fzfigd 10613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
12		fex 5836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝑇 ∈ V)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
14		nfcvd 2351	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
15		fveq1 5598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑓‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
16	15	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	ifeq1d 3597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
18	17	mpteq2dv 4151	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑇 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	14, 18	csbiegf 3145	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ V → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	13, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21	2, 20	eqtrid 2252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 = 𝐴)
23	22	breq1d 4069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑁 ↔ 𝐴 ≤ 𝑁))
24	22	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
25	24	fveq2d 5603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝐺‘(𝑇‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
26	23, 25	ifbieq1d 3602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
27		iseqf1olemfvp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
28		elfzuz 10178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	27, 28	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		elfzle2 10185	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ≤ 𝑁)
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑁)
32	31	iftrued 3586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
33		fveq2 5599	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))
34	33	eleq1d 2276	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑇‘𝐴) → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆))
35		iseqf1olemfvp.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
36	35	ralrimiva 2581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
37	5, 27	ffvelcdmd 5739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁))
38		elfzuz 10178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇‘𝐴) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	37, 38	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40	34, 36, 39	rspcdva 2889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑇‘𝐴)) ∈ 𝑆)
41	32, 40	eqeltrd 2284	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
42	21, 26, 29, 41	fvmptd 5683	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑇‘𝐴)), (𝐺‘𝑀)))
43	42, 32	eqtrd 2240	1 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑇 / 𝑓⦌𝑃‘𝐴) = (𝐺‘(𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776  ⦋csb 3101  ifcif 3579   class class class wbr 4059   ↦ cmpt 4121  ⟶wf 5286  –1-1-onto→wf1o 5289  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  Fincfn 6850   ≤ cle 8143  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683  ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsumk  10694