Theorem dvexp2 15401

Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvexp2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9382	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		dvexp 15400	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
3		nnne0 9149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
4	3	neneqd 2421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
5	4	iffalsed 3612	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
6	5	mpteq2dv 4175	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
7	2, 6	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
8		oveq2 6015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥↑𝑁) = (𝑥↑0))
9		exp0 10777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
10	8, 9	sylan9eq 2282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑁) = 1)
11	10	mpteq2dva 4174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
12		fconstmpt 4766	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
13	11, 12	eqtr4di 2280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) = (ℂ × {1}))
14	13	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (ℂ D (ℂ × {1})))
15		ax-1cn 8103	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		dvconst 15383	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
18	14, 17	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (ℂ × {0}))
19		fconstmpt 4766	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
20	18, 19	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21		iftrue 3607	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = 0)
22	21	mpteq2dv 4175	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
23	20, 22	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
24	7, 23	jaoi 721	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
25	1, 24	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ifcif 3602  {csn 3666   ↦ cmpt 4145   × cxp 4717  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010  1c1 8011   · cmul 8015   − cmin 8328  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380  ↑cexp 10772   D cdv 15344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-map 6805  df-pm 6806  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-rest 13289  df-topgen 13308  df-psmet 14522  df-xmet 14523  df-met 14524  df-bl 14525  df-mopn 14526  df-top 14687  df-topon 14700  df-bases 14732  df-ntr 14785  df-cn 14877  df-cnp 14878  df-tx 14942  df-cncf 15260  df-limced 15345  df-dvap 15346

This theorem is referenced by:  dvply1  15454