Theorem dvexp2 15442

Description: Derivative of an exponential, possibly zero power. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvexp2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dvexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9404	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		dvexp 15441	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
3		nnne0 9171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
4	3	neneqd 2423	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
5	4	iffalsed 3615	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))
6	5	mpteq2dv 4180	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))))
7	2, 6	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
8		oveq2 6026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥↑𝑁) = (𝑥↑0))
9		exp0 10806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
10	8, 9	sylan9eq 2284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑁) = 1)
11	10	mpteq2dva 4179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
12		fconstmpt 4773	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
13	11, 12	eqtr4di 2282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) = (ℂ × {1}))
14	13	oveq2d 6034	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (ℂ D (ℂ × {1})))
15		ax-1cn 8125	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		dvconst 15424	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (ℂ × {1})) = (ℂ × {0})
18	14, 17	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (ℂ × {0}))
19		fconstmpt 4773	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
20	18, 19	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
21		iftrue 3610	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1)))) = 0)
22	21	mpteq2dv 4180	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
23	20, 22	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
24	7, 23	jaoi 723	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))
25	1, 24	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑁 = 0, 0, (𝑁 · (𝑥↑(𝑁 − 1))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ifcif 3605  {csn 3669   ↦ cmpt 4150   × cxp 4723  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032  1c1 8033   · cmul 8037   − cmin 8350  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ↑cexp 10801   D cdv 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-pm 6820  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-rest 13329  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-top 14728  df-topon 14741  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-cn 14918  df-cnp 14919  df-tx 14983  df-cncf 15301  df-limced 15386  df-dvap 15387

This theorem is referenced by:  dvply1  15495