ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqpcl GIF version

Theorem iseqf1olemqpcl 10527
Description: Lemma for seq3f1o 10535. A closure lemma involving 𝑄 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqpcl ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemjpcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
21csbeq2i 3099 . . . 4 𝑄 / 𝑓𝑃 = 𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
3 iseqf1olemqf.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
4 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
5 elfzel1 10054 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 elfzel2 10053 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96, 8fzfigd 10462 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
10 mptexg 5762 . . . . . . 7 ((𝑀...𝑁) ∈ Fin → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢))) ∈ V)
119, 10syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢))) ∈ V)
123, 11eqeltrid 2276 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ V)
13 nfcvd 2333 . . . . . 6 (𝑄 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
14 fveq1 5533 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑄 → (𝑓𝑥) = (𝑄𝑥))
1514fveq2d 5538 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑄 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝑄𝑥)))
1615ifeq1d 3566 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑄 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)))
1716mpteq2dv 4109 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑄 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
1813, 17csbiegf 3115 . . . . 5 (𝑄 ∈ V → 𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
1912, 18syl 14 . . . 4 (𝜑𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
202, 19eqtrid 2234 . . 3 (𝜑𝑄 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
21 fveq2 5534 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑄𝑥) → (𝐺𝑎) = (𝐺‘(𝑄𝑥)))
2221eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑎 = (𝑄𝑥) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄𝑥)) ∈ 𝑆))
23 iseqf1olemjpcl.g . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
2423ralrimiva 2563 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
25 fveq2 5534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑎))
2625eleq1d 2258 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑎) ∈ 𝑆))
2726cbvralv 2718 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
2824, 27sylib 122 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
2928ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
30 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
314, 30, 3iseqf1olemqf 10522 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
3231ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
33 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
34 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
358ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 elfz5 10047 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3734, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3833, 37mpbird 167 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3932, 38ffvelcdmd 5673 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑄𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
40 elfzuz 10051 . . . . . 6 ((𝑄𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑄𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4139, 40syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑄𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4222, 29, 41rspcdva 2861 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐺‘(𝑄𝑥)) ∈ 𝑆)
43 fveq2 5534 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑀))
4443eleq1d 2258 . . . . 5 (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑀) ∈ 𝑆))
4528ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
466ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
47 uzid 9572 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4846, 47syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4944, 45, 48rspcdva 2861 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
50 eluzelz 9567 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
51 zdcle 9359 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑁)
5250, 8, 51syl2anr 290 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥𝑁)
5342, 49, 52ifcldadc 3578 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
5420, 53fvmpt2d 5623 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)))
5554, 53eqeltrd 2266 1 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  Vcvv 2752  csb 3072  ifcif 3549   class class class wbr 4018  cmpt 4079  ccnv 4643  wf 5231  1-1-ontowf1o 5234  cfv 5235  (class class class)co 5896  Fincfn 6766  1c1 7842  cle 8023  cmin 8158  cz 9283  cuz 9558  ...cfz 10038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-er 6559  df-en 6767  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-inn 8950  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10529  seq3f1olemqsumk  10530  seq3f1olemqsum  10531
  Copyright terms: Public domain W3C validator