Theorem iseqf1olemqpcl 10601

Description: Lemma for seq3f1o 10609. A closure lemma involving 𝑄 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqpcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3111	. . . 4 ⊢ ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝑄 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemqf.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
4		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
5		elfzel1 10099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		elfzel2 10098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	fzfigd 10523	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
10		mptexg 5787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∈ Fin → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢))) ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢))) ∈ V)
12	3, 11	eqeltrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
13		nfcvd 2340	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
14		fveq1 5557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → (𝑓‘𝑥) = (𝑄‘𝑥))
15	14	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑄‘𝑥)))
16	15	ifeq1d 3578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
17	16	mpteq2dv 4124	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
18	13, 17	csbiegf 3128	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ V → ⦋𝑄 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	12, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑄 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	2, 19	eqtrid 2241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑄‘𝑥) → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘(𝑄‘𝑥)))
22	21	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑄‘𝑥) → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄‘𝑥)) ∈ 𝑆))
23		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑎))
26	25	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆))
27	26	cbvralv 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
28	24, 27	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
30		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
31	4, 30, 3	iseqf1olemqf 10596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
33		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
34		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		elfz5 10092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
38	33, 37	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
39	32, 38	ffvelcdmd 5698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑄‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
40		elfzuz 10096	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑄‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑄‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42	22, 29, 41	rspcdva 2873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘(𝑄‘𝑥)) ∈ 𝑆)
43		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑀))
44	43	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆))
45	28	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
46	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
47		uzid 9615	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	46, 47	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	44, 45, 48	rspcdva 2873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆)
50		eluzelz 9610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
51		zdcle 9402	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
52	50, 8, 51	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
53	42, 49, 52	ifcldadc 3590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
54	20, 53	fvmpt2d 5648	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
55	54, 53	eqeltrd 2273	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763  ⦋csb 3084  ifcif 3561   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ^◡ccnv 4662  ⟶wf 5254  –1-1-onto→wf1o 5257  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Fincfn 6799  1c1 7880   ≤ cle 8062   − cmin 8197  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemqsum  10605