ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemqpcl GIF version

Theorem iseqf1olemqpcl 10110
Description: Lemma for seq3f1o 10118. A closure lemma involving 𝑄 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemqf.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemqpcl ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemjpcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
21csbeq2i 2979 . . . 4 𝑄 / 𝑓𝑃 = 𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
3 iseqf1olemqf.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
4 iseqf1olemqf.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
5 elfzel1 9646 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 elfzel2 9645 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96, 8fzfigd 10045 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
10 mptexg 5577 . . . . . . 7 ((𝑀...𝑁) ∈ Fin → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢))) ∈ V)
119, 10syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢))) ∈ V)
123, 11syl5eqel 2186 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ V)
13 nfcvd 2241 . . . . . 6 (𝑄 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
14 fveq1 5352 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑄 → (𝑓𝑥) = (𝑄𝑥))
1514fveq2d 5357 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑄 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝑄𝑥)))
1615ifeq1d 3436 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑄 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)))
1716mpteq2dv 3959 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑄 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
1813, 17csbiegf 2993 . . . . 5 (𝑄 ∈ V → 𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
1912, 18syl 14 . . . 4 (𝜑𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
202, 19syl5eq 2144 . . 3 (𝜑𝑄 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
21 fveq2 5353 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑄𝑥) → (𝐺𝑎) = (𝐺‘(𝑄𝑥)))
2221eleq1d 2168 . . . . 5 (𝑎 = (𝑄𝑥) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄𝑥)) ∈ 𝑆))
23 iseqf1olemjpcl.g . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
2423ralrimiva 2464 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
25 fveq2 5353 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑎))
2625eleq1d 2168 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑎) ∈ 𝑆))
2726cbvralv 2612 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
2824, 27sylib 121 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
2928ad2antrr 475 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
30 iseqf1olemqf.j . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
314, 30, 3iseqf1olemqf 10105 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
3231ad2antrr 475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
33 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
34 simplr 500 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
358ad2antrr 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 elfz5 9639 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3734, 35, 36syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥𝑁))
3833, 37mpbird 166 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
3932, 38ffvelrnd 5488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑄𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
40 elfzuz 9643 . . . . . 6 ((𝑄𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑄𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4139, 40syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑄𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
4222, 29, 41rspcdva 2749 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐺‘(𝑄𝑥)) ∈ 𝑆)
43 fveq2 5353 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑀 → (𝐺𝑎) = (𝐺𝑀))
4443eleq1d 2168 . . . . 5 (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑀) ∈ 𝑆))
4528ad2antrr 475 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
466ad2antrr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
47 uzid 9190 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4846, 47syl 14 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
4944, 45, 48rspcdva 2749 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
50 eluzelz 9185 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
51 zdcle 8979 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑁)
5250, 8, 51syl2anr 286 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥𝑁)
5342, 49, 52ifcldadc 3448 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
5420, 53fvmpt2d 5439 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)))
5554, 53eqeltrd 2176 1 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 786   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  Vcvv 2641  csb 2955  ifcif 3421   class class class wbr 3875  cmpt 3929  ccnv 4476  wf 5055  1-1-ontowf1o 5058  cfv 5059  (class class class)co 5706  Fincfn 6564  1c1 7501  cle 7673  cmin 7804  cz 8906  cuz 9176  ...cfz 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-1o 6243  df-er 6359  df-en 6565  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10112  seq3f1olemqsumk  10113  seq3f1olemqsum  10114
  Copyright terms: Public domain W3C validator