Theorem iseqf1olemqpcl 10482

Description: Lemma for seq3f1o 10490. A closure lemma involving 𝑄 and 𝑃. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemqf.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemqf.q	⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
iseqf1olemjpcl.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemjpcl.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemqpcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑓   𝑥,𝐽,𝑓   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑓   𝑢,𝑀   𝑓,𝑁,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝑄,𝑓   𝑥,𝑆   𝜑,𝑢   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑥,𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐺(𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem iseqf1olemqpcl

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemjpcl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
2	1	csbeq2i 3084	. . . 4 ⊢ ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃 = ⦋𝑄 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
3		iseqf1olemqf.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢)))
4		iseqf1olemqf.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
5		elfzel1 10010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		elfzel2 10009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	fzfigd 10417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
10		mptexg 5737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∈ Fin → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢))) ∈ V)
11	9, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(◡𝐽‘𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽‘𝑢))) ∈ V)
12	3, 11	eqeltrid 2264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
13		nfcvd 2320	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ V → Ⅎ𝑓(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
14		fveq1 5510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → (𝑓‘𝑥) = (𝑄‘𝑥))
15	14	fveq2d 5515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → (𝐺‘(𝑓‘𝑥)) = (𝐺‘(𝑄‘𝑥)))
16	15	ifeq1d 3551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
17	16	mpteq2dv 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑄 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
18	13, 17	csbiegf 3100	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ V → ⦋𝑄 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
19	12, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑄 / 𝑓⦌(𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑓‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
20	2, 19	eqtrid 2222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀))))
21		fveq2 5511	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑄‘𝑥) → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘(𝑄‘𝑥)))
22	21	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑄‘𝑥) → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄‘𝑥)) ∈ 𝑆))
23		iseqf1olemjpcl.g	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆)
25		fveq2 5511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑎))
26	25	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆))
27	26	cbvralv 2703	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
28	24, 27	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
30		iseqf1olemqf.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
31	4, 30, 3	iseqf1olemqf 10477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
33		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
34		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
36		elfz5 10003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
38	33, 37	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
39	32, 38	ffvelcdmd 5648	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑄‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
40		elfzuz 10007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄‘𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑄‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41	39, 40	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝑄‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
42	22, 29, 41	rspcdva 2846	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘(𝑄‘𝑥)) ∈ 𝑆)
43		fveq2 5511	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → (𝐺‘𝑎) = (𝐺‘𝑀))
44	43	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑀 → ((𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆))
45	28	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑎) ∈ 𝑆)
46	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
47		uzid 9531	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	46, 47	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49	44, 45, 48	rspcdva 2846	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑁) → (𝐺‘𝑀) ∈ 𝑆)
50		eluzelz 9526	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
51		zdcle 9318	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
52	50, 8, 51	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑥 ≤ 𝑁)
53	42, 49, 52	ifcldadc 3563	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)) ∈ 𝑆)
54	20, 53	fvmpt2d 5598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝐺‘(𝑄‘𝑥)), (𝐺‘𝑀)))
55	54, 53	eqeltrd 2254	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (⦋𝑄 / 𝑓⦌𝑃‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2737  ⦋csb 3057  ifcif 3534   class class class wbr 4000   ↦ cmpt 4061  ^◡ccnv 4622  ⟶wf 5208  –1-1-onto→wf1o 5211  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  1c1 7803   ≤ cle 7983   − cmin 8118  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10484  seq3f1olemqsumk  10485  seq3f1olemqsum  10486