Theorem nninfomni 16415

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑘 𝑛 𝑞 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
2	1	ifbid 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
3	2	cbvmptv 4180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
4	3	fveq2i 5632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
5	4	eqeq1i 2237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
6	5	ralbii 2536	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
7		ifbi 3623	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
9	8	mpteq2i 4171	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10		elequ2 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
11	10	ifbid 3624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
12	11	mpteq2dv 4175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
13	12	fveqeq2d 5637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o))
14	13	cbvralv 2765	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
15		ifbi 3623	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
17	16	mpteq2i 4171	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
18		suceq 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → suc 𝑎 = suc 𝑛)
19	18	raleqdv 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
20	19	ifbid 3624	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
21	20	cbvmptv 4180	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2256	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
23	22	mpteq2i 4171	. 2 ⊢ (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
24	23	nninfomnilem 16414	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∅c0 3491  ifcif 3602   ↦ cmpt 4145  suc csuc 4456  ωcom 4682  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1_oc1o 6561  2_oc2o 6562   ↑_𝑚 cmap 6803  ℕ_∞xnninf 7294  Omnicomni 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1o 6568  df-2o 6569  df-map 6805  df-nninf 7295  df-omni 7310

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16417  exmidsbthrlem  16420