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Theorem nninfomni 13142
Description: is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfomni ∈ Omni

Proof of Theorem nninfomni
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑘 𝑛 𝑞 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ1 1675 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑖 → (𝑐𝑏𝑖𝑏))
21ifbid 3463 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑖 → if(𝑐𝑏, 1o, ∅) = if(𝑖𝑏, 1o, ∅))
32cbvmptv 3994 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))
43fveq2i 5392 . . . . . . . 8 (𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅)))
54eqeq1i 2125 . . . . . . 7 ((𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
65ralbii 2418 . . . . . 6 (∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
7 ifbi 3462 . . . . . 6 ((∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
98mpteq2i 3985 . . . 4 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10 elequ2 1676 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑏 → (𝑖𝑘𝑖𝑏))
1110ifbid 3463 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑏 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖𝑏, 1o, ∅))
1211mpteq2dv 3989 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅)))
1312fveq2d 5393 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))))
1413eqeq1d 2126 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑏 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o))
1514cbvralv 2631 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
16 ifbi 3462 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
1817mpteq2i 3985 . . . 4 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
19 suceq 4294 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛 → suc 𝑎 = suc 𝑛)
2019raleqdv 2609 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
2120ifbid 3463 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
2221cbvmptv 3994 . . . 4 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
239, 18, 223eqtr2i 2144 . . 3 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
2423mpteq2i 3985 . 2 (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
2524nninfomnilem 13141 1 ∈ Omni
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  c0 3333  ifcif 3444  cmpt 3959  suc csuc 4257  ωcom 4474  cfv 5093  (class class class)co 5742  1oc1o 6274  2oc2o 6275  𝑚 cmap 6510  Omnicomni 6972  xnninf 6973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1o 6281  df-2o 6282  df-map 6512  df-omni 6974  df-nninf 6975
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  13144
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