Theorem nninfomni 14052

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑘 𝑛 𝑞 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
2	1	ifbid 3547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
3	2	cbvmptv 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
4	3	fveq2i 5499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
5	4	eqeq1i 2178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
6	5	ralbii 2476	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
7		ifbi 3546	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
9	8	mpteq2i 4076	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10		elequ2 2146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
11	10	ifbid 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
12	11	mpteq2dv 4080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
13	12	fveqeq2d 5504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o))
14	13	cbvralv 2696	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
15		ifbi 3546	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
17	16	mpteq2i 4076	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
18		suceq 4387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → suc 𝑎 = suc 𝑛)
19	18	raleqdv 2671	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
20	19	ifbid 3547	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
21	20	cbvmptv 4085	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2197	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
23	22	mpteq2i 4076	. 2 ⊢ (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
24	23	nninfomnilem 14051	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∅c0 3414  ifcif 3526   ↦ cmpt 4050  suc csuc 4350  ωcom 4574  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389   ↑_𝑚 cmap 6626  ℕ_∞xnninf 7096  Omnicomni 7110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097  df-omni 7111

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14054