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Theorem nninfomni 14771
Description: is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfomni ∈ Omni

Proof of Theorem nninfomni
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑘 𝑛 𝑞 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ1 2152 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑖 → (𝑐𝑏𝑖𝑏))
21ifbid 3556 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑖 → if(𝑐𝑏, 1o, ∅) = if(𝑖𝑏, 1o, ∅))
32cbvmptv 4100 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))
43fveq2i 5519 . . . . . . . 8 (𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅)))
54eqeq1i 2185 . . . . . . 7 ((𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
65ralbii 2483 . . . . . 6 (∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
7 ifbi 3555 . . . . . 6 ((∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
98mpteq2i 4091 . . . 4 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10 elequ2 2153 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑏 → (𝑖𝑘𝑖𝑏))
1110ifbid 3556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑏 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖𝑏, 1o, ∅))
1211mpteq2dv 4095 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅)))
1312fveqeq2d 5524 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑏 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o))
1413cbvralv 2704 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
15 ifbi 3555 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
1716mpteq2i 4091 . . . 4 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
18 suceq 4403 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛 → suc 𝑎 = suc 𝑛)
1918raleqdv 2679 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
2019ifbid 3556 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
2120cbvmptv 4100 . . . 4 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
229, 17, 213eqtr2i 2204 . . 3 (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
2322mpteq2i 4091 . 2 (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
2423nninfomnilem 14770 1 ∈ Omni
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  c0 3423  ifcif 3535  cmpt 4065  suc csuc 4366  ωcom 4590  cfv 5217  (class class class)co 5875  1oc1o 6410  2oc2o 6411  𝑚 cmap 6648  xnninf 7118  Omnicomni 7132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-nninf 7119  df-omni 7133
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14773
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