Theorem nninfomni 17036

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑘 𝑛 𝑞 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
2	1	ifbid 3662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
3	2	cbvmptv 4225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
4	3	fveq2i 5696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
5	4	eqeq1i 2246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
6	5	ralbii 2556	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
7		ifbi 3661	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
9	8	mpteq2i 4216	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10		elequ2 2214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
11	10	ifbid 3662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
12	11	mpteq2dv 4220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
13	12	fveqeq2d 5701	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o))
14	13	cbvralv 2786	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
15		ifbi 3661	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
17	16	mpteq2i 4216	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
18		suceq 4545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → suc 𝑎 = suc 𝑛)
19	18	raleqdv 2755	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
20	19	ifbid 3662	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
21	20	cbvmptv 4225	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2265	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
23	22	mpteq2i 4216	. 2 ⊢ (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
24	23	nninfomnilem 17035	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∅c0 3520  ifcif 3638   ↦ cmpt 4190  suc csuc 4508  ωcom 4735  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675   ↑_𝑚 cmap 6916  ℕ_∞xnninf 7453  Omnicomni 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1o 6681  df-2o 6682  df-map 6918  df-nninf 7454  df-omni 7469

This theorem is referenced by:  nnnninfen  17038  exmidsbthrlem  17041