Theorem nninfomni 14909

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑘 𝑛 𝑞 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
2	1	ifbid 3557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
3	2	cbvmptv 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
4	3	fveq2i 5520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
5	4	eqeq1i 2185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
6	5	ralbii 2483	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
7		ifbi 3556	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
9	8	mpteq2i 4092	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10		elequ2 2153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ 𝑏))
11	10	ifbid 3557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))
12	11	mpteq2dv 4096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅)))
13	12	fveqeq2d 5525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑏 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o))
14	13	cbvralv 2705	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o)
15		ifbi 3556	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
17	16	mpteq2i 4092	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
18		suceq 4404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → suc 𝑎 = suc 𝑛)
19	18	raleqdv 2679	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
20	19	ifbid 3557	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
21	20	cbvmptv 4101	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2204	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
23	22	mpteq2i 4092	. 2 ⊢ (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑎 ∈ ω ↦ if(∀𝑏 ∈ suc 𝑎(𝑞‘(𝑐 ∈ ω ↦ if(𝑐 ∈ 𝑏, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
24	23	nninfomnilem 14908	1 ⊢ ℕ∞ ∈ Omni

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∅c0 3424  ifcif 3536   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  ωcom 4591  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  1_oc1o 6413  2_oc2o 6414   ↑_𝑚 cmap 6651  ℕ_∞xnninf 7121  Omnicomni 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1o 6420  df-2o 6421  df-map 6653  df-nninf 7122  df-omni 7136

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14911