Theorem nninfsellemqall 13895

Description: Lemma for nninfsel 13897. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
nninfsel.1	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
nninfsel.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemqall	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑄,𝑛,𝑞   𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑖,𝑘,𝑛   𝑘,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑘,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemqall

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
2		elequ2 2141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ 𝑥 ↔ 𝑖 ∈ 𝑦))
3	2	ifbid 3541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
4	3	mpteq2dv 4073	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
5	4	fveq2d 5490	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))))
6	5	eqeq1d 2174	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
7	6	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)))
8		eleq2 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑥 ↔ 𝑖 ∈ 𝑁))
9	8	ifbid 3541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
10	9	mpteq2dv 4073	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
11	10	fveq2d 5490	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
12	11	eqeq1d 2174	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o))
13	12	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o)))
14		1n0 6400	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
15	14	neii 2338	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o = ∅
16		nninfsel.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
17		elequ2 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ 𝑦))
18	17	ifbid 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
19	18	mpteq2dv 4073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
20	19	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))))
21	20	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
22	21	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
23		elequ1 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑎 ∈ 𝑦))
24	23	ifbid 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅) = if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
25	24	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
26	25	fveq2i 5489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
27	26	eqeq1i 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
28	27	ralbii 2472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
29	22, 28	bitri 183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
30		ifbi 3540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
32	31	mpteq2i 4069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
33	32	mpteq2i 4069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
34	16, 33	eqtri 2186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
35		nninfsel.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
36	35	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
37		nninfsel.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
38	37	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
39		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ ω)
40	39	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 𝑥 ∈ ω)
41		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
42		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
43		r19.21v 2543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
44	42, 43	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
46	25	fveq2i 5489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
47	46	eqeq1i 2173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
48	47	ralbii 2472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
49	45, 48	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
50	49	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
51		elequ1 2140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
52	51	ifbid 3541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅) = if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅))
53	52	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅))
54	53	fveq2i 5489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅)))
55		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
56	54, 55	eqtr3id 2213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
57	34, 36, 38, 40, 50, 56	nninfsellemeq 13894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝐸‘𝑄) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅)))
58	57, 53	eqtr4di 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝐸‘𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)))
59	58	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))))
60	59, 38, 55	3eqtr3d 2206	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 1o = ∅)
61	60	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅ → 1o = ∅))
62	15, 61	mtoi 654	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
63	35	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
64		elmapi 6636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
66		nnnninf 7090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
67	39, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
68	65, 67	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) ∈ 2o)
69		df2o3 6398	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
70	68, 69	eleqtrdi 2259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) ∈ {∅, 1o})
71		elpri 3599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) ∈ {∅, 1o} → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅ ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅ ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o))
73	72	orcomd 719	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅))
74	62, 73	ecased 1339	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
75	74	exp31 362	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o) → (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)))
76	7, 13, 75	omsinds 4599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o))
77	1, 76	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∅c0 3409  ifcif 3520  {cpr 3577   ↦ cmpt 4043  suc csuc 4343  ωcom 4567  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378   ↑_𝑚 cmap 6614  ℕ_∞xnninf 7084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-nninf 7085

This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  13896  nninfsel  13897