Theorem nninfsellemqall 14420

Description: Lemma for nninfsel 14422. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfsel.e	⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
nninfsel.1	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
nninfsel.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemqall	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑄,𝑛,𝑞   𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑖,𝑘,𝑛   𝑘,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑘,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemqall

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfsel.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
2		elequ2 2153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ 𝑥 ↔ 𝑖 ∈ 𝑦))
3	2	ifbid 3555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
4	3	mpteq2dv 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
5	4	fveq2d 5515	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))))
6	5	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
7	6	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)))
8		eleq2 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑥 ↔ 𝑖 ∈ 𝑁))
9	8	ifbid 3555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
10	9	mpteq2dv 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)))
11	10	fveq2d 5515	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))))
12	11	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o))
13	12	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o)))
14		1n0 6427	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
15	14	neii 2349	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o = ∅
16		nninfsel.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
17		elequ2 2153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑖 ∈ 𝑘 ↔ 𝑖 ∈ 𝑦))
18	17	ifbid 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
19	18	mpteq2dv 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
20	19	fveq2d 5515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))))
21	20	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
22	21	cbvralv 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
23		elequ1 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑎 ∈ 𝑦))
24	23	ifbid 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅) = if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
25	24	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))
26	25	fveq2i 5514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
27	26	eqeq1i 2185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
28	27	ralbii 2483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
29	22, 28	bitri 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
30		ifbi 3554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
32	31	mpteq2i 4087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
33	32	mpteq2i 4087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
34	16, 33	eqtri 2198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
35		nninfsel.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
36	35	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
37		nninfsel.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
38	37	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = 1o)
39		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ ω)
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 𝑥 ∈ ω)
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
43		r19.21v 2554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
44	42, 43	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
45	41, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
46	25	fveq2i 5514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅)))
47	46	eqeq1i 2185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
48	47	ralbii 2483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
49	45, 48	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
51		elequ1 2152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → (𝑖 ∈ 𝑥 ↔ 𝑎 ∈ 𝑥))
52	51	ifbid 3555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑎 → if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅) = if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅))
53	52	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅))
54	53	fveq2i 5514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅)))
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
56	54, 55	eqtr3id 2224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
57	34, 36, 38, 40, 50, 56	nninfsellemeq 14419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝐸‘𝑄) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎 ∈ 𝑥, 1o, ∅)))
58	57, 53	eqtr4di 2228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝐸‘𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)))
59	58	fveq2d 5515	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝐸‘𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))))
60	59, 38, 55	3eqtr3d 2218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 1o = ∅)
61	60	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅ → 1o = ∅))
62	15, 61	mtoi 664	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
63	35	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞))
64		elmapi 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑄:ℕ∞⟶2o)
66		nnnninf 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
67	39, 66	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
68	65, 67	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) ∈ 2o)
69		df2o3 6425	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
70	68, 69	eleqtrdi 2270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) ∈ {∅, 1o})
71		elpri 3614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) ∈ {∅, 1o} → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅ ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅ ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o))
73	72	orcomd 729	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = ∅))
74	62, 73	ecased 1349	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
75	74	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑦, 1o, ∅))) = 1o) → (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑥, 1o, ∅))) = 1o)))
76	7, 13, 75	omsinds 4618	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o))
77	1, 76	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∅c0 3422  ifcif 3534  {cpr 3592   ↦ cmpt 4061  suc csuc 4362  ωcom 4586  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  1_oc1o 6404  2_oc2o 6405   ↑_𝑚 cmap 6642  ℕ_∞xnninf 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-nninf 7113

This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  14421  nninfsel  14422