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Theorem nninfsellemqall 13536
 Description: Lemma for nninfsel 13538. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
nninfsel.q (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
nninfsel.1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
nninfsel.n (𝜑𝑁 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemqall (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = 1o)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑄,𝑛,𝑞   𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑖,𝑘,𝑛   𝑘,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘,𝑞)   𝑄(𝑖,𝑘)   𝐸(𝑖,𝑘,𝑛,𝑞)   𝑁(𝑘,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem nninfsellemqall
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ω)
2 elequ2 2130 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑖𝑥𝑖𝑦))
32ifbid 3522 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑖𝑥, 1o, ∅) = if(𝑖𝑦, 1o, ∅))
43mpteq2dv 4051 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅)))
54fveq2d 5465 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))))
65eqeq1d 2163 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
76imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)))
8 eleq2 2218 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑖𝑥𝑖𝑁))
98ifbid 3522 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → if(𝑖𝑥, 1o, ∅) = if(𝑖𝑁, 1o, ∅))
109mpteq2dv 4051 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅)))
1110fveq2d 5465 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))))
1211eqeq1d 2163 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = 1o))
1312imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = 1o)))
14 1n0 6369 . . . . . . 7 1o ≠ ∅
1514neii 2326 . . . . . 6 ¬ 1o = ∅
16 nninfsel.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
17 elequ2 2130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑦 → (𝑖𝑘𝑖𝑦))
1817ifbid 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑦 → if(𝑖𝑘, 1o, ∅) = if(𝑖𝑦, 1o, ∅))
1918mpteq2dv 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅)))
2019fveq2d 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑦 → (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))))
2120eqeq1d 2163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
2221cbvralv 2677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
23 elequ1 2129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖𝑦𝑎𝑦))
2423ifbid 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑎 → if(𝑖𝑦, 1o, ∅) = if(𝑎𝑦, 1o, ∅))
2524cbvmptv 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))
2625fveq2i 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = (𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅)))
2726eqeq1i 2162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
2827ralbii 2460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
2922, 28bitri 183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
30 ifbi 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
3231mpteq2i 4047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)) = (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
3332mpteq2i 4047 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))) = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
3416, 33eqtri 2175 . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝑞 ∈ (2o𝑚) ↦ (𝑛 ∈ ω ↦ if(∀𝑦 ∈ suc 𝑛(𝑞‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)))
35 nninfsel.q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (2o𝑚))
3635ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 𝑄 ∈ (2o𝑚))
37 nninfsel.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
3837ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = 1o)
39 simpll 519 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑥 ∈ ω)
4039adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 𝑥 ∈ ω)
41 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
42 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
43 r19.21v 2531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o) ↔ (𝜑 → ∀𝑦𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
4442, 43sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ∀𝑦𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o))
4541, 44mpd 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
4625fveq2i 5464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅)))
4746eqeq1i 2162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
4847ralbii 2460 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦𝑥 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑦𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
4945, 48sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ∀𝑦𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
5049adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → ∀𝑦𝑥 (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑦, 1o, ∅))) = 1o)
51 elequ1 2129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑎 → (𝑖𝑥𝑎𝑥))
5251ifbid 3522 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑎 → if(𝑖𝑥, 1o, ∅) = if(𝑎𝑥, 1o, ∅))
5352cbvmptv 4056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅)) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑥, 1o, ∅))
5453fveq2i 5464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑥, 1o, ∅)))
55 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
5654, 55syl5eqr 2201 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
5734, 36, 38, 40, 50, 56nninfsellemeq 13535 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝐸𝑄) = (𝑎 ∈ ω ↦ if(𝑎𝑥, 1o, ∅)))
5857, 53eqtr4di 2205 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝐸𝑄) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅)))
5958fveq2d 5465 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → (𝑄‘(𝐸𝑄)) = (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))))
6059, 38, 553eqtr3d 2195 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅) → 1o = ∅)
6160ex 114 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅ → 1o = ∅))
6215, 61mtoi 654 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ¬ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅)
6335adantl 275 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑄 ∈ (2o𝑚))
64 elmapi 6604 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (2o𝑚) → 𝑄:ℕ⟶2o)
6563, 64syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → 𝑄:ℕ⟶2o)
66 nnnninf 7054 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
6739, 66syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅)) ∈ ℕ)
6865, 67ffvelrnd 5596 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) ∈ 2o)
69 df2o3 6367 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
7068, 69eleqtrdi 2247 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) ∈ {∅, 1o})
71 elpri 3579 . . . . . . 7 ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) ∈ {∅, 1o} → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅ ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o))
7270, 71syl 14 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅ ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o))
7372orcomd 719 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → ((𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o ∨ (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = ∅))
7462, 73ecased 1328 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ ∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o)) ∧ 𝜑) → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o)
7574exp31 362 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦𝑥 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑦, 1o, ∅))) = 1o) → (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑥, 1o, ∅))) = 1o)))
767, 13, 75omsinds 4575 . 2 (𝑁 ∈ ω → (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = 1o))
771, 76mpcom 36 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑁, 1o, ∅))) = 1o)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432  ∅c0 3390  ifcif 3501  {cpr 3557   ↦ cmpt 4021  suc csuc 4320  ωcom 4543  ⟶wf 5159  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  1oc1o 6346  2oc2o 6347   ↑𝑚 cmap 6582  ℕ∞xnninf 7049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1o 6353  df-2o 6354  df-map 6584  df-nninf 7050 This theorem is referenced by:  nninfsellemeqinf  13537  nninfsel  13538
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