Theorem uzennn 10798

Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
uzennn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Proof of Theorem uzennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uz 9854	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
2		zex 9586	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘}) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2305	. . . 4 ⊢ ℤ≥ ∈ V
5		fvexg 5689	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥ ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
7		nn0ex 9502	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ℕ0 ∈ V)
9		eluzelz 9863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10, 11	zsubcld 9705	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ)
13		eluzle 9866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
15	10	zred 9700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	11	zred 9700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	15, 16	subge0d 8809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
18	14, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑀))
19		elnn0z 9590	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑀)))
20	12, 18, 19	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0))
22		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		nn0z 9597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
25	24, 22	zaddcld 9704	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ)
26		nn0ge0 9521	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑦)
28	22	zred 9700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
29	24	zred 9700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	28, 29	addge02d 8808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
31	27, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀))
32		eluz2 9859	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
33	22, 25, 31, 32	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
35	9	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 9555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41	36, 38, 40	subadd2d 8603	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥))
42		bicom 140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦))
43		eqcom 2234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑀))
44		eqcom 2234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))
45	43, 44	bibi12i 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
46	42, 45	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
47	41, 46	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
48	47	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))))
49	6, 8, 21, 34, 48	en3d 7008	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0)
50		nn0ennn 10795	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
51		entr 7024	. 2 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ℕ) → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)
52	49, 50, 51	sylancl 413	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524  Vcvv 2813   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ≈ cen 6973  0cc0 8127   + caddc 8130   ≤ cle 8309   − cmin 8444  ℕcn 9237  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-er 6767  df-en 6976  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  xnn0nnen  10799  exmidunben  13177