Theorem uzennn 10435

Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
uzennn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Proof of Theorem uzennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uz 9528	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
2		zex 9261	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5742	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘}) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2250	. . . 4 ⊢ ℤ≥ ∈ V
5		fvexg 5534	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥ ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
7		nn0ex 9181	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ℕ0 ∈ V)
9		eluzelz 9536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10, 11	zsubcld 9379	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ)
13		eluzle 9539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
15	10	zred 9374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	11	zred 9374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	15, 16	subge0d 8491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
18	14, 17	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑀))
19		elnn0z 9265	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑀)))
20	12, 18, 19	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0))
22		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		nn0z 9272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
25	24, 22	zaddcld 9378	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ)
26		nn0ge0 9200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑦)
28	22	zred 9374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
29	24	zred 9374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	28, 29	addge02d 8490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
31	27, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀))
32		eluz2 9533	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
33	22, 25, 31, 32	syl3anbrc 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
35	9	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 9230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41	36, 38, 40	subadd2d 8286	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥))
42		bicom 140	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦))
43		eqcom 2179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑀))
44		eqcom 2179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))
45	43, 44	bibi12i 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
46	42, 45	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
47	41, 46	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
48	47	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))))
49	6, 8, 21, 34, 48	en3d 6768	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0)
50		nn0ennn 10432	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
51		entr 6783	. 2 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ℕ) → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)
52	49, 50, 51	sylancl 413	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459  Vcvv 2737   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874   ≈ cen 6737  0cc0 7810   + caddc 7813   ≤ cle 7992   − cmin 8127  ℕcn 8918  ℕ₀cn0 9175  ℤcz 9252  ℤ_≥cuz 9527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-er 6534  df-en 6740  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528

This theorem is referenced by:  exmidunben  12426