Theorem uzennn 10392

Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
uzennn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Proof of Theorem uzennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uz 9488	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
2		zex 9221	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5722	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘}) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2243	. . . 4 ⊢ ℤ≥ ∈ V
5		fvexg 5515	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥ ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
6	4, 5	mpan 422	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
7		nn0ex 9141	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ℕ0 ∈ V)
9		eluzelz 9496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10, 11	zsubcld 9339	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ)
13		eluzle 9499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
15	10	zred 9334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	11	zred 9334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	15, 16	subge0d 8454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
18	14, 17	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑀))
19		elnn0z 9225	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑀)))
20	12, 18, 19	sylanbrc 415	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
21	20	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0))
22		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		nn0z 9232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
24	23	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
25	24, 22	zaddcld 9338	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ)
26		nn0ge0 9160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑦)
28	22	zred 9334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
29	24	zred 9334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	28, 29	addge02d 8453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
31	27, 30	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀))
32		eluz2 9493	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
33	22, 25, 31, 32	syl3anbrc 1176	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
35	9	ad2antrl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		simprr 527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 9190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41	36, 38, 40	subadd2d 8249	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥))
42		bicom 139	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦))
43		eqcom 2172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑀))
44		eqcom 2172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))
45	43, 44	bibi12i 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
46	42, 45	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
47	41, 46	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
48	47	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))))
49	6, 8, 21, 34, 48	en3d 6747	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0)
50		nn0ennn 10389	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
51		entr 6762	. 2 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ℕ) → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)
52	49, 50, 51	sylancl 411	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452  Vcvv 2730   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ≈ cen 6716  0cc0 7774   + caddc 7777   ≤ cle 7955   − cmin 8090  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-er 6513  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  exmidunben  12381