Theorem uzennn 10371

Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
uzennn	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Proof of Theorem uzennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-uz 9467	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘})
2		zex 9200	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5711	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗 ≤ 𝑘}) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2239	. . . 4 ⊢ ℤ≥ ∈ V
5		fvexg 5505	. . . 4 ⊢ ((ℤ≥ ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
6	4, 5	mpan 421	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ∈ V)
7		nn0ex 9120	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ℕ0 ∈ V)
9		eluzelz 9475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10, 11	zsubcld 9318	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ)
13		eluzle 9478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
15	10	zred 9313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	11	zred 9313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
17	15, 16	subge0d 8433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (0 ≤ (𝑥 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑥))
18	14, 17	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑀))
19		elnn0z 9204	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 − 𝑀)))
20	12, 18, 19	sylanbrc 414	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0)
21	20	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 − 𝑀) ∈ ℕ0))
22		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		nn0z 9211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
24	23	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
25	24, 22	zaddcld 9317	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ)
26		nn0ge0 9139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
27	26	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑦)
28	22	zred 9313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
29	24	zred 9313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	28, 29	addge02d 8432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
31	27, 30	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀))
32		eluz2 9472	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
33	22, 25, 31, 32	syl3anbrc 1171	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
35	9	ad2antrl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 9314	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9314	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
39		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 9169	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
41	36, 38, 40	subadd2d 8228	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥))
42		bicom 139	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦))
43		eqcom 2167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑀))
44		eqcom 2167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))
45	43, 44	bibi12i 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥 − 𝑀) = 𝑦) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
46	42, 45	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 − 𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
47	41, 46	sylib 121	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀)))
48	47	ex 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥 − 𝑀))))
49	6, 8, 21, 34, 48	en3d 6735	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0)
50		nn0ennn 10368	. 2 ⊢ ℕ0 ≈ ℕ
51		entr 6750	. 2 ⊢ (((ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ℕ) → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)
52	49, 50, 51	sylancl 410	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {crab 2448  Vcvv 2726   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ≈ cen 6704  0cc0 7753   + caddc 7756   ≤ cle 7934   − cmin 8069  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-er 6501  df-en 6707  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  exmidunben  12359