Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzennn GIF version

Theorem uzennn 10209
 Description: An upper integer set is equinumerous to the set of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
uzennn (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ≈ ℕ)

Proof of Theorem uzennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-uz 9327 . . . . 5 = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘})
2 zex 9063 . . . . . 6 ℤ ∈ V
32mptex 5646 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘}) ∈ V
41, 3eqeltri 2212 . . . 4 ∈ V
5 fvexg 5440 . . . 4 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) ∈ V)
64, 5mpan 420 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ∈ V)
7 nn0ex 8983 . . . 4 0 ∈ V
87a1i 9 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ℕ0 ∈ V)
9 eluzelz 9335 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
109adantl 275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1210, 11zsubcld 9178 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥𝑀) ∈ ℤ)
13 eluzle 9338 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
1413adantl 275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑥)
1510zred 9173 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1611zred 9173 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1715, 16subge0d 8297 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 ≤ (𝑥𝑀) ↔ 𝑀𝑥))
1814, 17mpbird 166 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ (𝑥𝑀))
19 elnn0z 9067 . . . . 5 ((𝑥𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥𝑀)))
2012, 18, 19sylanbrc 413 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑥𝑀) ∈ ℕ0)
2120ex 114 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥𝑀) ∈ ℕ0))
22 simpl 108 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
23 nn0z 9074 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
2423adantl 275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℤ)
2524, 22zaddcld 9177 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ)
26 nn0ge0 9002 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑦)
2726adantl 275 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑦)
2822zred 9173 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
2924zred 9173 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℝ)
3028, 29addge02d 8296 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑦𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
3127, 30mpbid 146 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀))
32 eluz2 9332 . . . . 5 ((𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑦 + 𝑀)))
3322, 25, 31, 32syl3anbrc 1165 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
3433ex 114 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑦 + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀)))
359ad2antrl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3635zcnd 9174 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3837zcnd 9174 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
39 simprr 521 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 9032 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4136, 38, 40subadd2d 8092 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → ((𝑥𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥))
42 bicom 139 . . . . . 6 (((𝑥𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥𝑀) = 𝑦))
43 eqcom 2141 . . . . . . 7 ((𝑦 + 𝑀) = 𝑥𝑥 = (𝑦 + 𝑀))
44 eqcom 2141 . . . . . . 7 ((𝑥𝑀) = 𝑦𝑦 = (𝑥𝑀))
4543, 44bibi12i 228 . . . . . 6 (((𝑦 + 𝑀) = 𝑥 ↔ (𝑥𝑀) = 𝑦) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥𝑀)))
4642, 45bitri 183 . . . . 5 (((𝑥𝑀) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑀) = 𝑥) ↔ (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥𝑀)))
4741, 46sylib 121 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥𝑀)))
4847ex 114 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑀) ↔ 𝑦 = (𝑥𝑀))))
496, 8, 21, 34, 48en3d 6663 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ≈ ℕ0)
50 nn0ennn 10206 . 2 0 ≈ ℕ
51 entr 6678 . 2 (((ℤ𝑀) ≈ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ℕ) → (ℤ𝑀) ≈ ℕ)
5249, 50, 51sylancl 409 1 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) ≈ ℕ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2420  Vcvv 2686   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ≈ cen 6632  0cc0 7620   + caddc 7623   ≤ cle 7801   − cmin 7933  ℕcn 8720  ℕ0cn0 8977  ℤcz 9054  ℤ≥cuz 9326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-er 6429  df-en 6635  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327 This theorem is referenced by:  exmidunben  11939
 Copyright terms: Public domain W3C validator