Theorem nnnn0 9117

Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnnn0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nnnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 9113	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2	1	sseli 3137	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℕcn 8853  ℕ₀cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  nnnn0i  9118  elnnnn0b  9154  elnnnn0c  9155  elnn0z  9200  elz2  9258  nn0ind-raph  9304  zindd  9305  fzo1fzo0n0  10114  ubmelfzo  10131  elfzom1elp1fzo  10133  fzo0sn0fzo1  10152  modqmulnn  10273  expnegap0  10459  expcllem  10462  expcl2lemap  10463  expap0  10481  expeq0  10482  mulexpzap  10491  expnlbnd  10575  apexp1  10627  facdiv  10647  faclbnd  10650  faclbnd3  10652  faclbnd6  10653  resqrexlemlo  10951  absexpzap  11018  nnf1o  11313  summodclem2a  11318  fsum3  11324  arisum  11435  expcnvap0  11439  expcnv  11441  geo2sum  11451  geo2lim  11453  geoisum1c  11457  0.999...  11458  mertenslem2  11473  fprodseq  11520  fprodfac  11552  ef0lem  11597  ege2le3  11608  efaddlem  11611  efexp  11619  dvdsmodexp  11731  nn0enne  11835  nnehalf  11837  nno  11839  nn0o  11840  divalg2  11859  ndvdssub  11863  gcddiv  11948  gcdmultiple  11949  gcdmultiplez  11950  rpmulgcd  11955  rplpwr  11956  dvdssqlem  11959  eucalgf  11983  1nprm  12042  isprm6  12075  prmdvdsexp  12076  pw2dvds  12094  oddpwdc  12102  phicl2  12142  phibndlem  12144  phiprmpw  12150  crth  12152  hashgcdlem  12166  phisum  12168  pythagtriplem10  12197  pythagtriplem6  12198  pythagtriplem7  12199  pythagtriplem12  12203  pythagtriplem14  12205  pclemub  12215  pcexp  12237  pcid  12251  pcprod  12272  pcbc  12277  prmpwdvds  12281  infpnlem1  12285  infpnlem2  12286  prmunb  12288  1arith  12293  ennnfonelemjn  12331  dvexp  13275  logbgcd1irr  13485  lgsval4a  13523